20 第三节贝塞尔Bezier)曲线 数学建模
第三节 贝塞尔(Bézier) 曲线
贝塞尔(Bezier)是法国雷诺汽车公司的工程师，他于1962年提出了这种独创的 造曲线曲面的方法，并以这种方法为基础，发展了一套设计制造系统，称之为 UNISURF系统，八十年代中后期，国际知名的法国达索(Dassault)飞机公司研制的 CATIA系统，也广泛使用贝塞尔方法。贝塞尔方法较之以前的方法有许多优良的性质， 其中一个很受设计人员青睐的性质是它是一个非常几何化的方法，设计人员不必关心曲 线曲面的数字表示形式，只要在空间定义好控制多边形的形状就能大致确定曲线曲面的 形状，使人能直观地交互式地控制设计对象。 教学建模 00
贝塞尔(Bézier)是法国雷诺汽车公司的工程师，他于1962年提出了这种独创的构 造曲线曲面的方法，并以这种方法为基础，发展了一套设计制造系统，称之为 UNISURF系统，八十年代中后期，国际知名的法国达索(Dassault)飞机公司研制的 CATIA系统，也广泛使用贝塞尔方法。贝塞尔方法较之以前的方法有许多优良的性质， 其中一个很受设计人员青睐的性质是它是一个非常几何化的方法，设计人员不必关心曲 线曲面的数字表示形式，只要在空间定义好控制多边形的形状就能大致确定曲线曲面的 形状，使人能直观地交互式地控制设计对象
一.Bezier曲线的定义 定义1由下式定义一个n次Bezierl曲线 C0=∑B.Q)p 0≤t≤1 (6.3.1) i-0 B,.d)是由下式定义的n次Bernstem多项式： 8.06t-r n. (6.3.2) P∈R 是常向量，它们的终点相连构成的多 边形称为Beziera多边形。 定义的曲线称为由p为控制顶点的n次 Bezierl曲线如图6.3.1所示。 数学建模
一. Bézier曲线的定义 定义1 由下式定义一个n次Bézier曲线 ( ) ( ) 0 1 0 = , = C t B t P t i n i i n B (t) i,n 是由下式定义的n次Bernstem多项式: ( ) ( ) ( ) i n i i n t t i n i n B t − − − = 1 ! ! ! , （6.3.2） 3 Pi R 是常向量，它们的终点相连构成的多 边形称为Bézier多边形。 C(t) 定义的曲线称为由 Pi 为控制顶点的n次 Bézier曲线 如图6.3.1所示。 (6.3.1)
P2 P: 图6.3.1 二.Betnstein基函数的性质 正性 .8时-1 01=0,1 2.端点性质 8.0- (=0) 10其他 其他 教学建模
1 p 1 p 2 p 2 p 3 p 3 p 4 p 4 p 图6.3.1 二. Betnstein基函数的性质 正性 ( ) ( ) = = = t i n t B t i n 0 0,1 , 1,2, 0 0 ,1 , 2. 端点性质 ( ) ( ) = = 0 其他 1 0 , 0 i Bi n ( ) ( ) = = 0 其他 1 , 1 i n Bi n
3.权性 归 t∈(0，) 由二项式定理可知： ∑B)=立Cr0-小r=[0-+=1 4.对称性 B①)=B,0-t） 因为 B-n)=Cg--1-r-).1- =Cgt(1-y-=B,01-) 款学建模
3. 权性 ( ) 1 (0,1) 0 , = B t t n i i n 由二项式定理可知： ( ) (1 ) (1 ) 1 0 0 , = − = − + − = = i n i n n i i n n i i n B t C t t t t 4. 对称性 B (t) B ( t) i,n = n−i,n 1− ( ) ( ) ( ) ( ) C t ( t) B ( t) B t C t t i n i i n i n n i n n i n i n i n n = − = − = − − − − − − − − − 1 1 1 1 1 , , 因为