limaZu.（2）按已知条件可知极限""un存在，如果级数台收敛，则由结论(1)必有级数2r.Zu.00ZunZy.“收敛，但已知级数=“发散，因此级数=发散。不可能收敛，即级数n=1Nsin1n的收敛性例3判别级数n=l1sin-n=1lim-→*1解：n.由定理3知此级数发散。Zun定理4（比值审敛法）若正项级数二的后项与前项之比值的极限等于P：lim "a = lim "ml = 00H-pun则当P<1时，级数收敛；P>1（或"→un）时级数发散；P=1时级数可能收敛也可能发散。证明（1）当p<1，取一个适当正数8，使P+ε=<1，依极限定义，日自然数m，unl<p+&=使n≥m，有un，因此，um+<ym,um+2<yum+<yumum+3<yum+2<yu这样，级数Um+I+Um+2+Um+3+各项小于收敛的等比级数Zurnum+u.+u.+…(y<1)的各对应项，所以它也收敛。由于台只比它多了前Zunm项，因此=也收敛。(2）当P>1，取一个适当正数，使p->1，依极限定义，当n≥m时，有3untl >p-ε>1,Zunlimu,*0un即U+>un，从而-，可知=发散，类似可证，当Zu.U+l=00lim=n-0Uan=l“发散。，(3）当P=1时，由P-级数可知结论正确。22"-ml例4判别级数台n"的收敛性2"+1 . (n + 1)!nUn+ln(n + 1)n+I2"-n!unn+1+n解：
（2）按已知条件可知极限 n n n u v →∞ lim 存在，如果级数 ∑ ∞ n=1 un 收敛，则由结论(1)必有级数 ∑ ∞ n=1 n v 收敛，但已知级数∑ ∞ n=1 n v 发散，因此级数∑ ∞ n=1 n u 不可能收敛，即级数∑ ∞ n=1 n u 发散。 例 3 判别级数∑ ∞ =1 1 sin n n 的收敛性 解 ∵ 1 1 1 sin lim = →∞ n n n ∴由定理 3 知此级数发散。 定理 4（比值审敛法）若正项级数 ∑ ∞ n=1 un 的后项与前项之比值的极限等于 ρ ： = ρ + →∞ n n n u u 1 lim ，则当 ρ < 1时，级数收敛；ρ > 1（或 = ∞ + →∞ n n n u u 1 lim ）时级数发散；ρ = 1时 级数可能收敛也可能发散。 证明 ⑴ 当 ρ < 1，取一个适当正数ε ，使 ρ + ε = γ < 1，依极限定义，∃自然数 m ， 使 n ≥ m ，有 < ρ + ε = γ + n n u u 1 ，因此， um+1 < γum ,um+2 < γum+1 < γ 2 um, um+3 < γum+2 < γ3 um, " 这样，级数um+1 + um+2 + um+3 +"各项小于收敛的等比级数 γum + γ 2 um + γ 3 um +" (γ < 1) 的各对应项，所以它也收敛。由于∑ ∞ n=1 n u 只比它多了前 m 项，因此∑ ∞ n=1 n u 也收敛。 ⑵ 当 ρ > 1 ，取一个适当正数 ε ，使 ρ − ε > 1 ，依极限定义，当 n ≥ m 时，有 1, 1 > − > + ρ ε n n u u 即 un+1 > un ，从而 lim ≠ 0 →∞ n n u ，可知 ∑ ∞ n=1 n u 发散，类似可证，当 = ∞ + →∞ n n n u u 1 lim ，∑ ∞ n=1 un 发散。 ⑶ 当 ρ = 1时，由 p − 级数可知结论正确。 例 4 判别级数∑ ∞ = ⋅ 1 2 ! n n n n n 的收敛性 解 ∵ n n n n n n n n n n n n n n n u u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ = ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = + + + 1 1 1 2 1 2 ( 1) 2 ! 2 ( 1)! 1 1 1
22U+l = limlim<11）n-Unn0e1+-n)..故级数收敛。u为正项级数，如果它的一般项n的n次根的极限等于P：定理5（根值审敛法）设n=llim/u,=P，则当p<1时，级数收敛，p>1（或只lim/u,=+oo）时级数发散，p=1时级数可能收敛也可能发散。证明与定理4相仿，这里从略。n-Z判别级数（2n+1）例5的收敛性1nlim/u,=lim<n-→ 2n+12解n→所以级数收敛。Zu.定理6（极限审敛法）设=为正项级数，Lunlim nu, =1>0limnu,=+oo（1）如果n-→(或n-→0))，则级数=发散：Zu.limnPu,=l(0≤l<+00)则级数=（2）如果p>1,而n-。“收敛。12!,=n，由调和级数n发散，知结论成证明（1）在极限形式的比较审敛法中，取立；21Vh=np，当p>1时，p-级数台n”收敛，故结（2）在极限形式的比较审敛法中，取论成立。1Z /n+1(I- cos")n的收敛性例6判定级数Tlimn?u,=limn2n+1(1-cos解因为"-→n→onn+111元= lim n?-一元12m2n根据极限审敛法，知所给级数收敛。二、交错级数及其审敛法一个级数的各项如果事正负相间的就叫做交错级数。若",>0（",<0也一样）n=,2，则"-uz+u,u+(-1)-u,就是一个交错级数。(ii)limu, =0定理7（莱布尼兹准则）若(i)u,>0(i)u,≥un+1n→+Z(-1)"-l un,0≤(-1)"- u, ≤u,收敛，且则级数==1
∴ 1 2 1 1 2 lim lim 1 = < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = →∞ + →∞ e n u u n n n n n 故级数收敛。 定理 5（根值审敛法）设∑ ∞ n=1 un 为正项级数，如果它的一般项un 的 n 次根的极限等于 ρ ： = ρ →∞ n n n lim u ，则当 ρ < 1时，级数收敛， ρ > 1（或 = +∞ →∞ n n n lim u ）时级数发散， ρ = 1 时级数可能收敛也可能发散。 证明与定理 4 相仿，这里从略。 例 5 判别级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n 1 2 +1 n n n 的收敛性 解 1, 2 1 2 1 lim lim = < + = →∞ →∞ n n u n n n n 所以级数收敛。 定理 6（极限审敛法）设∑ ∞ n=1 un 为正项级数， （1）如果 lim = > 0 →∞ nu l n n （或 = +∞ →∞ n n lim nu ），则级数∑ ∞ n=1 n u 发散； （2）如果 p>1,而 lim = (0 ≤ < +∞), →∞ n u l l n p n 则级数∑ ∞ n=1 n u 收敛。 证明（1）在极限形式的比较审敛法中，取 n vn 1 = ，由调和级数 ∑ ∞ =1 1 n n 发散，知结论成 立； （2）在极限形式的比较审敛法中，取 n p n v 1 = ，当 p>1 时，p-级数∑ ∞ =1 1 n p n 收敛，故结 论成立。 例 6 判定级数∑ ∞ = + − 1 1(1 cos ) n n n π 的收敛性. 解 因为 lim lim 1(1 cos ) 2 3 2 3 n n u n n n n n π = + − →∞ →∞ 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 1 lim π π ⋅ = + = →∞ n n n n n 根据极限审敛法，知所给级数收敛。 二、 交错级数及其审敛法 一个级数的各项如果事正负相间的就叫做交错级数。若 un > 0 （ un < 0 也一样） n = 1,2,3"，则u1 − u2 + u3 − u4 +"+ (−1) n−1 un +"就是一个交错级数。 定理 7 （莱布尼兹准则）若(i)un > 0 1 ( )un ≥ un+ ii ( )lim = 0 →∞ n n iii u ， 则级数∑ ∞ = − − 1 1 ( 1) n n n u 收敛，且 1 1 1 0 ( 1) u u n n n ≤ ∑ − ≤ ∞ = −
证明先证前2n项的和S2n的极限存在，S2m=(u,-uz)+(us-u.)+.+(u2m- -u2n)→[S2n)个 (括号非负)又 S2, = u, -(uz -ug)-(us -us)-..-(u2m-2 -u2m-1)-u2m→ S2n<u.limS2n=S≤u（条件()，(i)lim S2n+1 = lim(S2, + u2n+1)= S（条件(ii))limS,=S≤u,故n→111+(-1)-/ 11.+.234例 7证明交错级数n收敛11.1u,=->0limu, = lim-= 0u=->un+i(n=1,2,...)nn+1证明n及-→0n→nZ(-1)-1 !n收敛，且其和S<1，如果取前n项的和，由莱氏判别法，知=11+..+(-)- 1[y/≤-S, =1-(= Un+I)23n+1n，作为S的近似值，产生的误差三、绝对收敛与条件收敛每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值，那就对应地有一个正项级数，该正项级数与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系。2u.u收敛，则二定理8若=也收敛Zv.1-(u/+u,)V.=则≥0，即2证明令是正项级数，2ra22,,≤un收敛，又2v-u=un，由基本性质，知而栏收敛，从而=Zu,收敛。n=1必须指出，此定理的逆定理不成立。≥ls.lZu.Zu.Z/u.发散，则称定义若收敛，则称=是绝对收敛的；如果n=1收敛而=1Zu.”是条件收敛的。n=lZ(-1)- n是条件收敛的。如级数=111111.+(-1)"+1+..3例8判定级数2222+323n 2"是绝对收敛还是条件收敛还是发散？
证明 先证前2n项的和 S2n 的极限存在， S2n = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + . + (u2n−1 − u2n ) → {S2n } ↑ （括号非负） 又 2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 1 S n = u − (u − u ) − (u − u ) −"− (u n− − u n− ) − u n → S n < u 2 1 lim S S u n n ∴ = ≤ →∞ (条件(i) ，(ii) ) S S u S n n n n n = + + = →∞ + →∞ lim lim( ) 2 1 2 2 1 （条件(iii) ） 故 1 lim S S u n n = ≤ →∞ 例 7 证明交错级数 − + − +"+ − − +" n n 1 ( 1) 4 1 3 1 2 1 1 1 收敛 证明 0 1 = > n un ( 1,2, ) 1 1 1 = 1 = " + = > + u n n n un n 及 0 1 lim = lim = →∞ →∞ n u n n n 由莱氏判别法，知 ∑ ∞ = − − 1 1 1 ( 1) n n n 收敛，且其和 S < 1 ，如果取前 n 项的和， n S n n 1 . ( 1) 3 1 2 1 1 −1 = − + + + − ，作为 S 的近似值，产生的误差 ( ) 1 1 = +1 + n ≤ n u n γ 三、绝对收敛与条件收敛 每一个任意项级数的各项都换为它的绝对值，那就对应地有一个正项级数，该正项级数 与任意项级数的收敛性有下面定理所述的关系。 定理 8 若∑ ∞ n=1 n u 收敛，则∑ ∞ n=1 n u 也收敛 证明 令 ( ) 2 1 n n n v = u + u ，则vn ≥ 0 ，即∑ ∞ n=1 n v 是正项级数， n un ∵v ≤ 而 ∑ ∞ n=1 un 收敛，从而 ∑ ∞ =1 2 n n v 收敛，又 n un un 2v − = ，由基本性质，知 ∑ ∞ n=1 n u 收敛。 必须指出，此定理的逆定理不成立。 定义 若∑ ∞ n=1 n u 收敛，则称∑ ∞ n=1 n u 是绝对收敛的；如果∑ ∞ n=1 n u 收敛而∑ ∞ n=1 n u 发散，则称 ∑ ∞ n=1 n u 是条件收敛的。 如级数∑ ∞ = − − 1 1 1 ( 1) n n n 是条件收敛的。 例 8 判定级数 − ⋅ + ⋅ +"+ − n+ ⋅ n +" n 2 1 1 ( 1) 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 是绝对收敛还是条件收敛 还是发散？