西安电子科技大学：《复变函数与场论》课程教学课件（讲义，2014）第4讲 特殊矢量场

矢量场的环量与旋度 例 在坐标原点处放置一点电荷q,在自由空间产生的电 场强度为品+)，求自由空 间任意点(r≠0)电场强度的旋度7XE。 [解] VXE=-9 4π8【 X )--月-。 lexu@mail.xidian.edu.cn

矢量场的环量与旋度 例 在坐标原点处放置 一点电荷 q，在自由空间产生的电 矢量场的环量与旋度 例 在坐标原点处放置 点电荷 q 在自由空间产生的电 场强度为 ，求自由空 3 3 ( ) ˆ ˆ ˆ 4 4 q q E r xx yy zz   r r      间任意点(r ≠0)电场强度的旋度▽× E 。 [ 解 ] 4 4   r r [ 解 ] 3 3 ˆ ˆ ˆ ˆ xyz q q zy E x                   3 3 0 333 4 4 x y z yr zr xyz rrr               33 33 0 ˆ ˆ rrr xz yx y z zr xr xr y r                                      lexu@mail.xidian.edu.cn 11         y 

矢量场的环量与旋度 ■例证明：V.(AxB)=VxA.B-A.VxB(Rule4) [证1]A=A+A+A三 B=B,+B+B.2 A×B=(4,B.-AB,)R+(AB-AB)+(4B,-AB)且 v(ax=￥ 盟 A.4)B. OA.A )B+(axoy OA,A)B. 0正 ,_OB.)A. =V×AB-AVxB OB. B,B)4-（ax OB )A.-( ax lexu@mail.xidian.edu.cn

矢量场的环量与旋度  例 证明：        ( ) (Rule4) A B AB A B        [ 证1] ˆ ˆ ˆ A Ax A x y z y A z  ˆ ˆ ˆ B Bx B x y z y B z  ( )( ) ( ) ˆ ˆ ˆ A B AB AB x AB AB yz zy zx xz xy yx       y AB AB z       A B   B A ( ) y y z z zy yz z z x x xz zx A B B A A B BA BA x xx x A B B A BA BA                       xz zx x x y y yx xy y yy y A B B A BA BA z zz z            ( )( )( ) z z y y x x x y z A A A A A A BBB yz zx xy B B B B B B                        A BA B     lexu@mail.xidian.edu.cn 12 ( )( )( ) z z y y x x x y B B B B B B A A A yz zx xy               z

第4讲特殊矢量场 ■有势场 。管形场 ■调和场 lexu@mail.xidian.edu.cn 13

第4讲 特殊矢量场  有势场  管形场  调和场 lexu@mail.xidian.edu.cn 13

单连域与复连域 ■线单连域与线复连域 ·任取简单闭曲线I∈空间区域G: ·存在以为边界且全部位于区域G内的曲面S: ·满足以上要求的G称为线单连域 。 否则称之为线复连域 lexu@mail.xidian.edu.cn 14

单连域与复连域  线单连域与线复连域 • 任取简单闭曲线 任取简单闭曲线 l ∈空间区域 G； • 存在以 l为边界且全部位于区域 G内的曲面 S； • 满足以上要求的 G称为线单连域 • 否则称之为线复连域 lexu@mail.xidian.edu.cn 14