例1： 讨论二元函数川-中y+y=0, xy 0, x2+y2=0 当Pxy)→O0,0)时，极限是否存在。 解 当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)时， 即y0,fx,y)=x,0)0(c≠0)， ∴.limf(x,0)=0. 当Pxy)沿y轴趋于点O0,0)时，即x=0, xy)=0,y)=00y≠0)， .lim f(0v)=0. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
当P(x,y)沿直线y=x轴趋于点O0,0)时， 即fx)0x,a+2Gr≠0， lim/(y)=limk x20 1+k21+k2 其极限值随直线斜率的不同而不同 因此limf(x,y)不存在。 30 一元函数极限的有些运算法则（如四则运算法 则夹逼定理等)可以相应地推广到二元函数. 山医学院信工程学院高等数学教研
例2.讨论函数 f红》=十y在点0,0)的极限 解：设Px,y)沿直线y=kx趋于点(O,0),则有 i0fx月=li钢万 k y= 82+2采1+k2 k值不同极限不同！ 故f(x,y)在(0,0)点极限不存在. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
说明2：多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似. 阳果 解：，1 lim sin(=1 im siny=12=2 (x,y)→2,0)y (x,y)→2.0)Xy 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
四、多元函数的连续性 1.定义3.设n元函数f(P)定义在D上，聚点P∈D, 如果存在 lim (P)=f(B) 则称n元函数f(P)在，点P,连续，否则称为不连续，此时 B称为间断点. 如果函数在D上各点处都连续，则称此函数在D上 连续。 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室