三、多元函数的极限 定义1设函数zxy)在点P(xoo)的某一去心 邻域内有定义，如果动，点P(x,y)在该邻域内以任 意方式趋于定点Pxoo)时，函数的对应值fx,y) 趋于一个确定数A,则称A为函数zxy),当 x→xo,y→%时的极限 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
三、多元函数的极限 定义2.设n元函数f(P),P∈DcR",Po是D的聚 点，若存在常数A,对任意正数6，总存在正数6，对一 切P∈D∩U(B,d),都有f(P)-A<e,则称A为函数 f(P)当P→P时的极限，记作 limf(P)=A(也称为n重极限) P→% 当n=2时，记p=PR=V(x-x)2+0y-o)2 二元函数的极限可写作： f,月=4或a吧，)=A p)0 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室 1
10=+m+y+y40 1 求证：i0fc,)=0. 要证 运em0 ≤x2+y2 e>0,36=√8，当0<p=2+y2<6时，总有 |f(x,y)-0≤x2+y2<82=6 故 i0ofx,y=0. 2012329 泰山医学院信息工程学院高等数学教研室
说明1：P→P是指P以任何方式趋于P· lim。f(x)=A, x→x-0 台limf(x)=A. 中lim.fx)=A, x→x0 x→x0+0 多 imf(x,)=A,→f(x,y)→A(P以某种方式趋于B. 生 r lim f(x,y)=A(沿平行x轴→P) x→x0 J=0 imf(x,y)=A台 Iimf(x,y)=A(沿平行y轴→P) 3对 了 '→0 lim f(x,y)=4 (y=Yo+k(x=xo) x→Xa 2012329 奉山污件代学秀室 →)
确定极限不存在的方法： (1)令P(x,y)沿y=%+k(x-x)趋向于P(x00), 若极限值与k有关，则可断言极限不存在： (2)找两种不同趋近方式，使imf(x,y)存在，但 x→r0 y→% 两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点P(0) 处极限不存在. 2012329 泰山医学院信恳工程学院高等数学教研室