《高等数学》课程教学资源（内容讲义）第九章 曲线积分与曲面积分

第九章曲线积分与曲面积分 一、知识结构图与学习要求 (一)知识结构图 概念与基本性质 对弧长的曲线积分 计算方法 概念与基本性质 对坐标的曲线积分 计算方法 曲线积分 两类曲线积分之间的联系 格林公式 格林公式及其应用 曲线积分与路径无关的条件 二元函数的全微分求积 曲线 对面积的曲面积分厂概念与基本性质 分与曲 儿计算方法 对坐标的曲面积分厂概念与基本性质 曲面积分 计算方法 两类曲面积分之间的联系 (高斯公式 曲线积分与曲面积分的联系：斯托克斯公式 场论初步量、府 环流量、旋度 (二)学习要求 1.理解两类曲线积分的概念： 2.了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的相互关系：

第九章 曲线积分与曲面积分 一、知识结构图与学习要求 （一）知识结构图 （二）学习要求 1．理解两类曲线积分的概念； 2．了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的相互关系； 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 曲面积分 计算方法 计算方法 曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 对弧长的曲线积分 两类曲线积分之间的联系 概念与基本性质 格林公式及其应用 曲线积分与路径无关的条件 对坐标的曲线积分 概念与基本性质 概念与基本性质 概念与基本性质 计算方法 计算方法 高斯公式 两类曲面积分之间的联系 场论初步 二元函数的全微分求积 格林公式 通量、散度 环流量、旋度 曲线积分与曲面积分的联系：斯托克斯公式

3。熟练掌握两类曲线积分的计算： 4.理解格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数： 5.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分 的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面积分： 6.了解散度与旋度的概念，并会计算： 7.会用曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量（曲面面积、弧长、质量、重心、 转动惯量、引力、功及流量等) 二、内容提要 (一)曲线积分 1,对孤长的曲线积分（第一类曲线积分） (1)设L是xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,)在L上有界，则定义在L上对 弧长的曲线积分为 xh=m之G.m 当fc,)=1时，∫本表示曲线L的弧长. 若是空间的一条曲线，可以类似平面的情形，对弧长的曲线积分定义为 =出=g26,5A 当fx,y)=1时，∫本表示空间曲线Γ的弧长。 (2)当L的参数方程为上=0 r=w0’as1s,则 ,fx,yd=f几0，wNp()+w0t,(a≤B). U=a≤r≤，则 当曲线L的方程为y=y(Xa≤x≤b),可将L的参数方程设为= Jxy达=∫fx,wxN+wxr本. 当曲线L的方程为x=9 vXcsysd小，可将L的参数方程设为=》(esysd小，则 (y=y Jfx,达=厂f以，voor+1d 注计算第一类曲线积分时，将曲线积分化为定积分时，要注意定积分的上限要不小

3．熟练掌握两类曲线积分的计算； 4．理解格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数； 5．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分 的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面积分； 6．了解散度与旋度的概念，并会计算； 7．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量和物理量（曲面面积、弧长、质量、重心、 转动惯量、引力、功及流量等）． 二、内容提要 （一）曲线积分 1．对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） （1） 设 L 是 xOy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f x y ( , ) 在 L 上有界，则定义在 L 上对 弧长的曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i L i f x y ds f s    → =  =   ． 当 f x y ( , ) 1  时， L ds  表示曲线 L 的弧长． 若  是空间的一条曲线，可以类似平面的情形，对弧长的曲线积分定义为 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i L i f x y z ds f s     → =  =   ． 当 f x y z ( , , ) 1  时， L ds  表示空间曲线  的弧长． （2）当 L 的参数方程为 ( ) ( ) x t y t    =   = ，   t ，则 2 2 ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) L f x y ds f t t t t dt   = +         ,（    ）． 当曲线 L 的方程为 y x a x b =   ( )( ) ，可将 L 的参数方程设为 ( ) x x y x   =   = ( ) a x b   ，则 2 ( , ) [ , ( )] 1 [ ( )] b L a f x y ds f x x x dx = +     ． 当曲线 L 的方程为 x y c y d =   ( )( ) ，可将 L 的参数方程设为 x y( ) y y  =    = ( ) c y d   ，则 2 ( , ) [ ( ), ] [ ( )] 1 d L c f x y ds f y y y dy = +     ． 注 计算第一类曲线积分时，将曲线积分化为定积分时，要注意定积分的上限要不小

于下限. (3)物理意义 设曲线L的线密度为p(x,),则其质量为M=∫，P(x,y达· 2.对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） (1)设L为xOy面内从点A到B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,)、Qx,)在L上 有界.则定义函数Px,)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分为 PG.(A 类似可以定义对坐标y的曲线积分为∫Q(x)=m∑Q5,n,)4y·常见的还有如下的组 合形式 [P(x.y)dx+(x.y)dy =P(x.y)d+(x.y)dy 注对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关，设[表示L的反向曲线弧，则 SP(x.y)d+O(x,y)dy=-P(x.y)dx+Q(x.y)dy (2)当曲线L的参数方程为=，且当：由口变化到B时，曲线L由A变化到B y=0 ∫Px,yd+x,yd=∫{P(x,r)+(a),by')d 当曲线L的方程为y=),可将L的参数方程设为 =闭’从a变化到6，则 P(x.y+(x.y)dy =(P[x.(x+(x.M(x)l(x)d 若线L的方为=试0小，可格L的参数方程设为：.少从e变化，圆 [.P(x.y)dx+Q(x.y)dy =[(PIx(y).yl(y)+a(x(y).y]dy. 同理可以定义三元函数fx,y,)在空间曲线「上对坐标x,y和：的曲线积分，并有相应 的计算方法. 注在计算此类曲线积分时候，积分下限值对应于曲线的起点的参数值，积分上限值对 应于曲线的终点的参数值，上限值不一定大于下限值。 3.两类曲线积分之间的关系 (1)平面曲线L的情形： P(xd+(x)dy=[P(x.y)cosa+(y)cos plds

于下限． （3）物理意义 设曲线 L 的线密度为 (x, y) ，则其质量为 ( , ) L M x y ds =   ． 2．对坐标的曲线积分（第二类曲线积分） （1）设 L 为 xOy 面内从点 A 到 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 P x y ( , ) 、Q x y ( , ) 在 L 上 有界．则定义函数 P x y ( , ) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i L i P x y dx P x    → =  =   ， 类似可以定义对坐标 y 的曲线积分为 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i L i Q x y dy Q y    → =  =   ．常见的还有如下的组 合形式 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  ( , ) ( , ) L L = + P x y dx Q x y dy   ． 注 对坐标的曲线积分与积分曲线的方向有关，设 L − 表示 L 的反向曲线弧，则 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy − + = − +   ． （2）当曲线 L 的参数方程为 ( ) ( ) x x t y y t  =   = ，且当 t 由  变化到  时，曲线 L 由 A 变化到 B ， 则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  = { [( ( ), ( )] ( ) [( ( ), ( )] ( )} P x t y t x t Q x t y t y t dt     +  ． 当曲线 L 的方程为 y y x = ( ) ，可将 L 的参数方程设为 ( ) x x y y x  =   = ， x 从 a 变化到 b ，则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  { [ , ( )] [( , ( )] ( )} b a = + P x y x Q x y x y x dx   ． 若曲线 L 的方程为 x x y = ( ) ，可将 L 的参数方程设为 x x y( ) y y  =   = ， y 从 c 变化到 d ，则 ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  { [ ( ), ] ( ) [( ( ), ]} . d c = + P x y y x y Q x y y dy   同理可以定义三元函数 f x y z ( , , ) 在空间曲线  上对坐标 x y, 和 z 的曲线积分，并有相应 的计算方法． 注 在计算此类曲线积分时候，积分下限值对应于曲线的起点的参数值，积分上限值对 应于曲线的终点的参数值，上限值不一定大于下限值． 3．两类曲线积分之间的关系 （1）平面曲线 L 的情形： ( , ) ( , ) [ ( , )cos ( , )cos ] L L P x y dx Q x y dy P x y Q x y ds + = +    

其中csa,c0sB为有向曲线L上点(x,)处的切向量的方向余弦 (2)空间曲线厂的情形： Pxyh+Qx,八+Rxyt =[P(x.y,=)cosa+Q(x.y,=)cos B+R(x.y,=)cosylds, 其中cosa,cosB,cosy为有向曲线「上点(x,八，：)处的切向量的方向余弦. 4.格林公式、曲线积分与路径无关的条件 (1)格林公式 设平面闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,),Q(x,)在D上具有一阶连续 偏导数，则有 其中L是D的取正向的边界曲线， (2)积分与路径无关的条件 设P(x,以，Qx,)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价： a.∫P红，d+O(x,)在D内积分与路径无关： b.∮Px+O(x,)=0，L为D内任一闭曲线 c器-nen: d.存在可微函数ux,),使得d=Px,y)t+Qx,yd,且有 x.P+ =O,d+广Px, 其中(3%)为D内任一点. 5.两类曲线积分的应用 (1)利用曲线积分求弧长s=」d心. (2)利用曲线积分求重心坐标 设空间曲线「的线密度函数为(x,y,),则重心坐标（区，以）可由下式给出，即 其中M=[4(x乃，). (3)求转动惯量

其中 cos ,cos   为有向曲线 L 上点 ( , ) x y 处的切向量的方向余弦． （2）空间曲线  的情形： ( , , ) ( , , ) ( , , ) L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz + +  [ ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ] L = + + P x y z Q x y z R x y z ds     ， 其中 cos ,cos ,cos    为有向曲线  上点 ( , , ) x y z 处的切向量的方向余弦． 4．格林公式、曲线积分与路径无关的条件 （1）格林公式 设平面闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P x y ( , ) ，Q x y ( , ) 在 D 上具有一阶连续 偏导数，则有 ( ) L D Q P dxdy Pdx Qdy x y   − = +     ， 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线． （2）积分与路径无关的条件 设 P x y Q x y ( , ), ( , ) 在单连通区域 D 内有连续的一阶偏导数，则下列四个命题等价： a． ( , ) ( , ) L P x y dx Q x y dy +  在 D 内积分与路径无关； b． ( , ) ( , ) 0 L P x y dx Q x y dy + =  ， L 为 D 内任一闭曲线； c． ,( , ) Q P x y D x y   =    ； d．存在可微函数 u x y ( , ) ，使得 du P x y dx Q x y dy = + ( , ) ( , ) ，且有 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x y u x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy = + = +    0 0 0 ( , ) ( , ) y x y x = + Q x y dy P x y dy   ， 其中 0 0 ( , ) x y 为 D 内任一点． 5．两类曲线积分的应用 （1）利用曲线积分求弧长 L s ds =  ． （2）利用曲线积分求重心坐标 设空间曲线  的线密度函数为 ( , , ) x y z ，则重心坐标 ( , , ) x y z 可由下式给出，即 1 x x y z xds ( , , ) M   =  ， 1 y x y z yds ( , , ) M   =  ， 1 z x y z zds ( , , ) M   =  ， 其中 M x y z ds ( , , )  =  ． （3）求转动惯量

设平面曲线弧L上任意一点(x,)处的线密度为p(x,),则绕x轴、y轴和原点的转动 惯量分别为 1,=p(x.y)yids,I=p(x.y)x'ds,lo=S p(x.yxi+y')ds. 设空间曲线弧「上任意一点(x,八，)处的线密度为xy,),则绕x轴、y轴、：轴和原 点的转动惯量分别为 1=xyX0y+2达，1，=x,y=x2+2达 12=∫px,y,x2+y2d， lo=fp(x.y.x++:ds (4)变力沿曲线做功 设变力F=P(x,)i+Qx,yi,则变力沿平面曲线L所作的功为 W=∫Px,yh+Ox,y 同理可利用对坐标的曲线积分求变力沿空间曲线所作的功， (二)曲面积分 1.对面积的曲面积分（第一类曲面积分） (1)设曲面Σ是光滑的，函数∫(x,y,)在上有界.则定义函数x,y,:)在曲面Σ上 对面积的曲面积分为 jfx,ys=im∑f5,n,5)As 称dS为曲面面积元素，且曲面Σ的面积为川dS. (2)当曲面Σ由方程z=(x,y)给出，Σ在xOy面上的投影区域为Dm,函数z=(x,y) 在D,上具有连续偏导数，被积函数fx八)在Σ上连续，则 ∬fx==∬几x红++d D 当积分曲面Σ的方程为y=(x,),D为Σ在Ox面上的投影区域，则函数fx,y,)在Σ 上对面积的曲面积分为 ∬fxys=∬几x,e,xW+e,x)+ye,xt。 当积分曲面Σ的方程为x=x(y,),D-为2在O:面上的投影尽域，则函数fx,y)在 上对面积的曲面积分为

设平面曲线弧 L 上任意一点 ( , ) x y 处的线密度为 ( , ) x y ， 则绕 x 轴、 y 轴和原点的转动 惯量分别为 2 ( , ) x L I x y y ds =   ， 2 ( , ) y L I x y x ds =   ， 2 2 ( , )( ) O L I x y x y ds = +   ． 设空间曲线弧  上任意一点 ( , , ) x y z 处的线密度为 ( , , ) x y z ，则绕 x 轴、 y 轴、 z 轴和原 点的转动惯量分别为 2 2 ( , , )( ) x I x y z y z ds   = +  ， 2 2 ( , , )( ) y I x y z x z ds   = +  ， 2 2 ( , , )( ) z I x y z x y ds   = +  ， 2 2 2 ( , , )( ) O I x y z x y z ds   = + +  ． （4）变力沿曲线做功 设变力 F i j = + P x y Q x y ( , ) ( , ) ，则变力沿平面曲线 L 所作的功为 ( , ) ( , ) L W P x y dx Q x y dy = +  ． 同理可利用对坐标的曲线积分求变力沿空间曲线所作的功． （二）曲面积分 1．对面积的曲面积分（第一类曲面积分） （1）设曲面  是光滑的，函数 f x y z ( , , ) 在  上有界．则定义函数 f x y z ( , , ) 在曲面  上 对面积的曲面积分为 0 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i i f x y z dS f S     →  =  =   ． 称 dS 为曲面面积元素，且曲面  的面积为 dS   ． （2）当曲面  由方程 z z x y = ( , ) 给出， 在 xOy 面上的投影区域为 D xy ，函数 z z x y = ( , ) 在 D xy 上具有连续偏导数，被积函数 f x y z ( , , ) 在  上连续 则 2 2 ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) xy x y D f x y z dS f x y z x y z x y z x y dxdy  = + +   ． 当积分曲面  的方程为 y y x z = ( , ) ，D xz 为  在 zOx 面上的投影区域 则函数 f x y z ( , , ) 在  上对面积的曲面积分为 2 2 ( , , ) [ , ( , ), ] 1 ( , ) ( , ) zx z x D f x y z dS f x y z x z y z x y z x dzdx  = + +   ． 当积分曲面  的方程为 x x y z = ( , )，D yz 为  在 yOz 面上的投影区域，则函数 f x y z ( , , ) 在  上对面积的曲面积分为