匚高等数学 3.当Ω的母线退缩成一点时,此时Ω不是柱体 但作三重积分时,仍可将其当作前面情形的 特殊情形来处理,比如 g2:x2+y2+2≤1.则Dxy:x2+y2≤1. [5(x, J, 2)dv=j f (x, y, zdz dxdy Q D
3. 当的母线退缩成一点时, 此时不是柱体. 比如. 但作三重积分时, 仍可将其当作前面情形的 特殊情形来处理, : x 2 + y 2 + z 2 1. 则 Dxy : x 2 + y 2 1. = − − − − − Dxy x y x y f (x, y,z)dv f (x, y,z)dz dxdy. 2 2 2 2 1 1
匚高等数学 例1.∫(x+y+2吃其中92是由平面x=0 Q y=0,z=0和x+y+2=1所围成的四面体 解:考虑1 沿z轴方向,下方曲面:==0, x+y+2l 上方曲面:z=1-x-y 2在xy面上的投影区域为 x+y D m:0≤y≤1-x,0≤x≤1
例1. ( + + ) , = 0, x y z dxdydz 其中 是由平面x y = 0, z = 0 和 x+y+z =1所围成的四面体. 解: . 考虑 xdxdydz 在xy面上的投影区域为 Dxy : 0 y 1−x, 0 x 1. 沿 z 轴方向,下方曲面: z=0, 上方曲面: z = 1− x − y. y 0 z x 1 1 1 Dxy x+ y=1 x+ y+z=1
匚高等数学 [==J y dx dy xdr JO 0 dx x(1-x-y)dy x 0 2 (1-x-y)x 0 x(1-x)2cx= 2J0 24 类似,』∫ytd=zdd 24 Q 原式
− − − = x x y xdxdydz dx dy xdz 1 0 1 0 1 0 − = − − x dx x x y dy 1 0 1 0 (1 ) x x y dx x = − − − − 1 0 2 1 0 (1 ) 2 1 x x dx 2 1 0 (1 ) 2 1 = − . 24 1 = 类似, 24 1 = = ydxdydz zdxdydz 8 1 原式 =
匚高等数学 例2计尊h其中是由平面x+y2+2=1 Q 与锥面y=√x2+z2所围成的区域 解:若先对z积分 由于沿x轴方向的下 +y2+二=1 方曲面和上方曲面均 由两片曲面组成,且 2在xy面上投影区域 相对复杂.积分较繁 改为先对y积分 y=√x2+
例2. . , 1 2 2 2 2 2 与锥面 所围成的区域 计算 其中 是由平面 y x z ydxdydz x y z = + + + = 解 :若先对 z 积分, 由于沿 z 轴方向的下 方曲面和上方曲面均 由两片曲面组成, 且 在xy面上投影区域 相对复杂. 积分较繁. 改为先对 y 积分 . y 0z x 1 2 2 y = x + z 1 2 2 2 x + y + z =
匚高等数学 沿y轴方向,左方曲面:y=x2+2,右边曲面 y=√1-x2-z2.求在x面上的投影区域D 交线r:y=yx+,消去y x+y+z2=1 2 y 得在xz面上的投影曲线 为x2+z2 2 故D=:x2+z 2 x+z
沿 y 轴方向, : , : 左方曲面 y = x 2 + z 2 右边曲面 1 . 2 2 y = − x − z 求在xz面上的投影区域Dxz . , 1 : 2 2 2 2 2 + + = = + x y z y x z 交线 消去 y , 2 2 2 1 + = x z x z 为 得 在 面上的投影曲线 故 Dxz : , 2 2 2 2 2 x + z y 0 z x 1 2 2 y = x + z 2 2 y = 1− x − z