匚高等数学 三重积分的性质与二重积分性质完全类似, 比如若f(x,y,z)在Ω上连续,则f(x,y,z)在上可 积∫h=2的体积常数因子可从积分号中 提出来;和的积分等于积分之和积分的可加性; 积分的保号性;积分中值定理等
三重积分的性质与二重积分性质完全类似, 比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上可 积; 常数因子可从积分号中 提出来; 和的积分等于积分之和;积分的可加性; 积分的保号性; 积分中值定理等. = 的体积; dv
匚高等数学 二、三重积分的计算 1直角坐标系下三重积分的计算 类似于二重积分,三重积分可化为三个定积分 计算(三次积分) 2=2(xy) 设Ω是R3中一母线平 行于z轴,上,下底分 别为z=z2(x,y)2z X z1(x,y)的柱体.Ω在xy 面上的投影区域记为 如图 D XV
1.直角坐标系下三重积分的计算. 类似于二重积分, 三重积分可化为三个定积分 计算(三次积分). 设是R3中一母线平 行于z 轴, 上, 下底分 别为 z = z2 (x, y), z = z1 (x, y)的柱体. 在xy 面上的投影区域记为 Dxy . 如图 0 y z x z2 = z2 (x,y) Dxy b a z1 = z1 (x,y) 二、三重积分的计算
匚高等数学 则(xy: f(, y, z)dz dxdy (x,y) (其中1(x,y)≤2(xy) (若Dy:y(x)≤y≤y2(x)a≤x≤b,为x型区域) 二2=2(xy) b (x) ax b f(x,y, z)dz Jy(x) x,y) (x,y) y=y(x) D
= Dxy z x y z x y f (x, y,z)dV f (x, y,z)dz dxdy. ( , ) ( , ) 2 1 则 ( ( , ) ( , )) 1 2 其中 z x y z x y ( : ( ) ( ), , 若Dxy y1 x y y2 x a x b 为x—型区域) ( , , ) . ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 = z x y z x y y x y x b a dx dy f x y z dz 0 y z x z2 = z2 (x,y) Dxy b a z1 = z1 (x,y) y=y1 (x) y=y2 (x)
匚高等数学 若Dn:x(y)≤xx1(y)C≤y≤d,即为y型区域 则∫9(00 x2(y) (x,y) f(, y, z)dz x1(y) 应用时先画出Ω的草图,看z是从哪一曲面变到哪 曲面确定最里层积分上,下限然后到D上作二重 积分 口诀从里到外,面一面,线一线点一点
: ( ) ( ), , 若Dxy x1 y x x2 y c y d 即为y—型区域. 则 f (x, y,z)dV ( , , ) . ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 = z x y z x y x y x y d c dy dx f x y z dz 应用时先画出的草图, 看 z 是从哪一曲面变到哪一 曲面. 确定最里层积分上, 下限. 然后到Dxy上作二重 口诀:从里到外, 面—面, 线—线, 点—点. 积分
匚高等数学 注:1.当g是一柱体,但侧面的母线平行于y轴 它在xz面上的投影区域为Dx2 则可选择先 对y积分,然后到D上作二重积分 2.当Ω是一柱体,但侧面的母线平行于x轴, 在y面上的投影区域为D,则可选择先 对x积分,然后到D上作二重积分
注：1. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 y 轴, 它在xz面上的投影区域为Dxz, 则可选择先 对 y 积分, 然后到Dxz上作二重积分. 2. 当是一柱体, 但侧面的母线平行于 x 轴, 它在yz面上的投影区域为Dyz, 则可选择先 对x 积分, 然后到Dyz上作二重积分