§7函数的单调性和凸性 函数的导数描述了函数局部的变化形态 (函数变化的快慢),本节将在徼分中值定理 的基础上,以导数为工具,从整体上研究函数 的变化状况
1 §7 函数的单调性和凸性 函数的导数描述了函数局部的变化形态 （函数变化的快慢），本节将在微分中值定理 的基础上，以导数为工具，从整体上研究函数 的变化状况
、函数的单调性 定理: 设函数y=f(x)在[,b上连续,在(a,b)内可导, 则∫在{a,b上单调增加(单调减少) 台Vx∈(a,b)∫(x)≥0(f(x)≤0)成立 证:"→”设∫在[a,b上单调增加 x,x∈(a,b)x≠x有f(x)-f(x)≥0 x一J p=r(x)/B∵∫在(a,b)可导, ∴∫(x)=lim f(x")-f(x) ≥0 x→x x f(x)≥0 b
2 一、函数的单调性 定理： x(a, b) f (x) 0 ( f (x) 0) "" x, x (a, b) x x x x f x f x f x x x ( ) ( ) ( ) lim 0 设函数 y = f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 则 f 在 [a, b] 上单调增加（单调减少） 成立。 证： 设 f 在 [a, b] 上单调增加 ( ) ( ) 0 f x f x x x 有 ∵ f 在 (a, b) 可导， x y o y f (x) a b A B f (x) 0
<"设在(a,b)内f∫(x)≥0 Vx1,x2∈|a,b偎设x<x2 由微分中值定理彐∈(a,b) 9∫(x2)-f(x1)=∫(5)(x2-x1)≥0 ∫(x2)≥∫(x1)即∫单调增加 y=∫(x) B f(x)≤0
3 "" , [ , ] x1 x2 a b (a, b) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 x2 x1 f x f x f 0 ( ) ( ) 2 x1 f x f x y o y f (x) a b B A f (x) 0 设在 (a, b) 内 f x ( ) 0 1 2 假设 x x 由微分中值定理 即 f 单调增加
结论: 如果函数f(x)在{a,b上连续,在(a,b)内可导, 且Vx∈(a,b)有f(x)>0(f(x)<0) 则f∫在[a,b上严格单调增加(严格单调减少) 求函数单调增减区间的步骤 1)求出∫的D及间断点 2)求出f(x)=0和f(x)不存在的点 3)上述各点将Dn分成若干区间 4)在此区间上确定∫(x)的符号,从而判断 在此函数的单调性。可列表讨论
4 结论： ( f (x) 0) 如果函数 f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 且 x a b f x ( , ) ( ) 0 有 则 f 在 [a, b] 上严格单调增加（严格单调减少） 。 求函数单调增减区间的步骤 1）求出 f 的 Df 及间断点 2）求出 f x f x ( ) 0 ( ) 和 不存在的点 3）上述各点将 Df 分成若干区间 4）在此区间上确定 f x ( ) 的符号，从而判断 在此函数的单调性。可列表讨论
例1、讨论函数的单调性∫(x)=x3(2-x)3 例2、证明当x>0时,sinx>x 例3、设x>0a>e,证明(a+x)“<a+x
5 2 1 3 3 f x x x ( ) (2 ) 例1、讨论函数的单调性 3 sin 6 x 例2、证明当 x > 0 时， x x ( ) . a a x a x a 例3、设 x > 0 a > e ，证明