第七节广义积分
第七节 广义积分
无穷（限）积分定义1 设 f(x)在[a,+o)上连续,如果极限lim J, f(x)dx存在,则称此极限为函数 f(x)在[a,+o)上的反常积分记为[(x)dx,，即又称无穷限积分，J,* f(x)dx = lim J' f(x)dx.此时,1f(x)dx 收敛,若极限就说反常积分+8limf(x)dx 不存在,则称反常积分f(x)dx++80发散
无穷（限）积分 ( ) [ , ) , lim ( ) , ( ) [ , 1 ) . b b a f x a f x dx f x a →+ + + 设 在 上连续 如果极限 存在 则称此极限为函数 在 上的反 定 常积分 义 , ( ) , lim ( ) , ( ) a b b a a f x dx f x dx f x dx + + →+ 此时 就说反常积分 若极限 不存在 则 收 称反常积分 敛 发散. , ( ) , ( ) lim ( ) . a b a a b f x dx f x dx f x dx + + →+ = 又称无穷限积分 记为 即
类似地，可定义广义积分f(x)dx.[ f(x)dx = lim 11-[- f(x)dx = J"m f(x)dx + Jt8f(x)dx
类似地，可定义广义积分 ( ) lim ( ) . b b a a f x dx f x dx − →− = ( ) ( ) ( ) . a a f x dx f x dx f x dx + + − − = +
例1计算广义积分e-xdx.解e-*dx = lim-*dx = lim(1-e-b)= 1.h-+80b+o或 e-*dx = -e-x=1
0 1 . x e dx + − 例 计算广义积分 0 0 lim lim (1 ) 1. b x x b b b e dx e dx e + − − − →+ →+ = = − = 解 0 0 1. x x e dx e + + − − = − = 或
8例2判断无穷积分cosxdx的敛散性2解: limcosxdx = lim sin x = lim(1- cosb)b-+o0b-→+ob-→+oo不存在，+8cosxdx发散
0 2 cos . xdx + 例 判断无穷积分 的敛散性 0 0 lim cos lim sin lim (1 cos ) , b b b b b xdx x b →+ →+ →+ = = − 解 不存在 0 cos . xdx + 发散