第三节向量的乘积
第三节 向量的乘积
一、向量的数量积实例一物体在常力F作用下沿直线从点M，移动到点M，以 表示位移，则力 F 所做的功为W=Fcos (其中 为 与 的夹角)数量积的定义a.b =|a l b / coso.其中 为 a 与 b 的夹角C数量积也称“点积”、“内积”注定义其数量积为0若两向量中有一个是零向量
F s 一 、向量的数量积 1 2 , , cos ( ). F M M s F W F s F s = 一物体在常力 作用下沿直线从点 移动 到点 以 表示位移 则力 所做的功为 其中 为 与 的夹角 实例 数量积的定义 a b a b | || | cos . a b = 其中 为 与 的夹角. 注 若两向量中有一个是零向量, 0. 定义其数量积为 数量积也称“点积” 、 “内积”
当≠0时，由投影定理可知b|cos0 =|cos(a,b) = Pr j,b,因此有 a.b =[a|Prj.b.当b+0时，a.b=Prj,a
0 , cos cos( , ) Pr , Pr . a a a b b a b j b a b a j b = = = 当 时 由投影定理可知 因此有 0 , Pr . b 当b a b b j a = 时
数量积的性质(l) a.a=al.(2) a.b=0←=alb证 若i,b中有一个是零向量，结论显然成立若a±0,b0,() :.=0, [0, 0,:. cosO = 0, 0=元，,..aIb)(-) /, -0- :0-0.a.b=ab|coso=0
(2) 0 . a b a b = ⊥ 0, 0, 0, cos ( ) 0, , . 2 a b a b a b = = = ⊥ 2 (1) . a a a = , , cos 0, 2 | || | c ( os 0. ) a b a b a b ⊥ = = = = 数量积的性质 证 若 a b, , 中有一个是零向量 结论显然成立. 若 a b 0, 0
(3)交换律 a.b=b.a.(4)分配律(a+b)·=a.+b.(aa).b =a.(ab)=a(a.b)数乘结合律(5)其中，为常数
(3) . 交换律 a b b a = (4) ( ) . 分配律 a b c a c b c + = + (5) ( ) ( )= ( ). , . a b a b a b 数乘结合律 = 其中 为常数