《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.3不定积分的分部积分法

第三节不定积分的分部积分法

第三节 不定积分的分部积分法

分部积分法udy = uv-f vdu.例1 求[x sin xdx.解[ xsin xdx =-xd cosx=-(xcosx-fcos xd)=-xcosx+ sinx+C

分部积分法 udv uv vdu = − .   1 x xdx sin . 例 求  ( ) sin cos cos cos cos sin . x xdx xd x x x xdx x x x C = − = − − = − + +    解

例2 求[ xe'dx.解『 xe*dx={ xde'= xe*-Je'dx= xe* -e* +C.例3 求[x'e*dx.解[x'e'dx=[ x'der=x'e*-[e*d(x")= x'e* -2f xe*dx= x’e* - 2(xe* -e*)+C= e*(x2 - 2x +2)+C

2 . x xe dx 例 求  . x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C = = − = − +    解 2 3 . x x e dx 例 求  2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2( ) ( 2 2) . x x x x x x x x x x x e dx x de x e e d x x e xe dx x e xe e C e x x C = = − = − = − − + = − + +     解

例4 求[ xarctanxdx.解arctan xd(x*)xarctan xdx =Iarctanx-x'd arctanx21dxarctanx -21arctanx-J(1-Jdx-211+xarctanx - x + arctanx + C.2

4 x xdx arctan . 例 求  2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 arctan arctan ( ) 2 1 arctan arctan 2 1 arctan 2 1 1 1 arctan (1 ) 2 1 1 arctan arctan . 2 x xdx xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x x x x C = = − = − + = − − + = − + +      解

例5 求[x' In xdx.[x In xdx=[解In xdx-4-"Inx-}[x'dlnx福x--[x'dxInx?71-1 +C.nxr16

3 5 x xdx ln . 例 求  3 4 4 4 4 3 4 4 1 ln ln 4 1 1 ln ln 4 4 1 1 ln 4 4 1 1 ln . 4 16 x xdx xdx x x x d x x x x dx x x x C = = − = − = − +     解