第四节定积分的概念与性质
第四节 定积分的概念与性质
例设某物体作变速直线运动已知速度v(t)v(t)是时间段[T,T]上t的一个连续函数求物体在这段时间内经过的路程T2变速直线运动中路程为v(t)dt.三另一方面这段路程可表示为s(T) -s(T)v(t)dt = s(T,)- s(T), 其中 s(t) = v(t)
2 1 ( ) . T T v t dt 变速直线运动中路程为 2 1 另一方面这段路程可表示为 s T s T ( ) ( ) − . 2 1 2 1 ( )d ( ) ( ), ( ) ( ). T T = v t t s T s = − T s t v t 其中 1 2 , ( ) ( ) [ , ] , . v t v t T T t 设某物体作变速直线运动 已知速度 是时间段 上 的一个连续函数 求物体在这段时间内经过的路程 例
v(t)dt = s(T,)- s(T)江如果能从 v(t) 求出 s(t),定积分v(t)dt运算就可转化为减法运算 s(T,）-s(T)定积分的计算有捷径可寻
定积分的计算有捷径可寻 2 1 2 1 ( )d ( ) ( ) T T v t t s T s T = − 2 1 2 1 ( ) ( ), ( )d ( ) ( ). T T v t s t v t t s T s T − 如果能从 求出 定积分 运算就可转化为减法运算
积分上限函数设f(x)在[a,b]中可积，则定积分D(x)=[, f(t)dt, x E[a,b]称为积分上限函数注：一定要分清Φ(x)的自变量x与积分变量 t
积分上限函数 ( ) [ , ] , ( ) ( )d , [ , ] . x a t t f x a b = x f x a b 设 在 中可积 则定积分 称为积分上限函数 ( ) . x x t ： 一定要分清 的 注 自变量 与积分变量
设 f(x)eC[a,b]定理1（微积分基本定理）则积分上限函数 Φ(x)= f(t)dt 在[a,b]上可导，且0(x) =( (0)d) = (x), (a<x<b)
( ) ( ) [ , ], ( ) ( )d [ , ] , ( ) ( )d ( ), ( ) 1( ) . x a x a f x C a b x f t t a b x t x f f a t x b = = = 设 则 定理 微积分基 积分上限函数 在 上可导 且 本定理