《高等数学》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 一元函数积分学 4.1不定积分的概念与性质

第四章一元函数积分学第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 一元函数积分学

原函数的概念定义设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数 F(x),对任何 x E I,均有F'(x)= f(x) 或 dF(x) = f(x)dx则称函数 F(x)为 f(x)在区间I上的原函数若 F(x)为 f(x)在区间 I上的原函数，则函数 f(x)的全体原函数为 F(x)+C（C为任一常数)原函数存在定理区间I上连续函数一定有原函数

原函数的概念 ( ) , ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . f x I F x x I F x f x dF x f x dx F x f x I   = = 设 是定义在区间 上的函数 若存在函 数 对任何 均有 或 则称函数 为 在区间 定 上的 义 原函数 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ). F x f x I f x F x C C + 若 为 在区间 上的原函数 则函数 的全体原函数为 为任一常数 区间 I 上连续函数 原函数存在定理： 一定有原函数

不定积分的概念定义如果在某区间I上的函数 f(x）存在原函数则称f(x)为可积函数，并将 f(x)的全体原函数记为(f(x)dx.称它是函数 f(x)在区间I内的不定积分若 F(x)为 f(x)的原函数，则/f(x)dx=F(x)+C(C 为任意常数)

不定积分的概念 ( ) , ( ) , ( ) ( ) . ( ) I f x f x f x f x dx f x I  如果在某区间 上的函数 存在原函数 则称 为可积函数 并将 的 记为 称它是函数 在 定义 全体原函数 区间 内的不 定积分. ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ). F x f x f x dx F x C C = +  若 为 的原函数 则 为任意常数

[d,[例1 求[dx.1+x解[dx=-I+C,dx = arctanx + C1+x

2 2 1 1 1 , . 1 dx dx x +x 例 求   2 1 1 dx C, x x = − + 解  2 1 arctan . 1 dx x C +x = + 

例2 设曲线通过点（1,0)，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的方程解设该曲线方程为 y= f(x)，则 f'(x)=一X[-dx = In x| + C,: f(x)=福x由曲线通过点（1,0）知 C=0,：所求曲线方程为 y=Inx

(1,0), , . 2 设曲线通过点 且曲线上任一点处的 切线斜率等于该点横坐标的倒数 求此曲 线的方程 例 1 y f x f x ( ), ( ) , x 解 设该曲线方程为 = = 则  1 f x dx x C ( ) ln , x  = = +  由曲线通过点 (1,0) 0, 知 C =  = 所求曲线方程为 y x ln