定义12.1.2设DcR2为开集, z=f(x,y),(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(xny)∈D为一定点,p=(cosa,sma)为一 个方向。如果极限 lim /(xo+ cosa, o+tsn a)-f(xo,yo) 存在,则称此极限为函数f在点(x0,y)的沿方向v的方向导数,记为 (x0,y0)
定义 12.1.2 设 D 2 R 为开集， z f x y x y = ( , ), ( , ) D 是定义在 D 上的二元函数，( , ) 0 0 x y D 为一定点， v = (cos,sin )为一 个方向。如果极限 t f x t y t f x y t ( cos , sin ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → + 存在，则称此极限为函数 f 在点( , ) 0 0 x y 的沿方向v 的方向导数，记为 ( , ) 0 0 x y v f
定义12.1.2设DcR2为开集, z=f(x,y),(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(xny)∈D为一定点,p=(cosa,sma)为一 个方向。如果极限 lim /(xo+ cosa, o+tsn a)-f(xo,yo) 存在,则称此极限为函数f在点(x0,y)的沿方向v的方向导数,记为 (x0,y0) 由于x轴和y轴的正向的方向分别为e1=(10)和e2=(0,),由定义立 即得到,函数f(x,y)在点(x0,y)处关于x(或y)可偏导的充分必要条 件为f(x,y)沿方向e和-e1(或方向e2和-e2)的方向导数都存在且为 相反数,且这时成立 a(x0,y)B(x,)(或当(x1)可())。 af
由于 x 轴和 y 轴的正向的方向分别为 (1,0) (0,1) e1 = 和e2 = ，由定义立 即得到，函数 f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处关于x（或 y ）可偏导的充分必要条 件为 f (x, y)沿方向 1 e 和 1 − e （或方向 2 e 和 2 − e ）的方向导数都存在且为 相反数，且这时成立 ( , ) ( , ) 0 0 1 0 0 x y e f x y x f = （或 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 x y e f x y y f = ）。 定义 12.1.2 设 D 2 R 为开集， z f x y x y = ( , ), ( , ) D 是定义在 D 上的二元函数，( , ) 0 0 x y D 为一定点， v = (cos,sin )为一 个方向。如果极限 t f x t y t f x y t ( cos , sin ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → + 存在，则称此极限为函数 f 在点( , ) 0 0 x y 的沿方向v 的方向导数，记为 ( , ) 0 0 x y v f
例12.1.5求二元函数f(x,y)=1x2-y2P2在原点的方向导数。 解对于任一方向v=(cosa,smna),有 f(o+tcos a, 0+tsin a)-f(0,0)t l cos a-sin a 当cos2a=sin2a时,上式为零,因此f(x,y)沿这样的方向的方向 导数为零。 当cos2a≠sin2a时,当t→0+时上式的极限为cos2a-sn2aP2, 就是f(x,y)沿方向v的方向导数。同样可计算出,f(x,y)沿方向-v的 方向导数仍为cos2a-sim2a|2 特别地,f(x,y)沿方向e和-e1(=12)的方向导数均为1,因此 f(x,y)在(00)点的偏导数不存在
例 12.1.5 求二元函数 2 2 1 2 f (x, y) = | x − y | 在原点的方向导数。 解 对于任一方向 v = (cos,sin )，有 2 2 1 2 | cos sin | (0 cos ,0 sin ) (0,0) | | = − + + − t t t f t t f 。 当 2 2 cos = sin 时，上式为零，因此 f (x, y)沿这样的方向的方向 导数为零。 当 2 2 cos sin 时，当t →0+时上式的极限为 2 2 1 2 | cos − sin | ，它 就是 f (x, y)沿方向v 的方向导数。同样可计算出， f (x, y)沿方向−v 的 方向导数仍为 2 2 1 2 | cos − sin | 。 特别地， f (x, y)沿方向 i e 和 i − e (i = 1,2) 的方向导数均为 1，因此 f (x, y) 在 (0,0) 点的偏导数不存在
若将R中的单位向量ν(即满足|=1的向量)视为一个方向, 就可类似定义n元函数的方向导数:设DcR为开集,x°=(x3,x2 为D中一定点,v=(v,”2…,n)为一方向。定义D上的n元函数 u=f(x1,x2,…,x)在点x的沿方向v的方向导数为 (x1,x2,…x)=lm f(x1+11,x2+12,…,xn+tvn)-f( 122 (如果等式右面的极限存在的话)
若将 n R 中的单位向量 v （即满足 v = 1 的向量）视为一个方向， 就可类似定义n元函数的方向导数：设 n D R 为开集， ( , , , ) 0 0 2 0 1 0 n x = x x x 为 D 中一定点， ( , , , ) 1 2 n v = v v v 为一方向。定义 D 上 的 n 元函数 ( , , , ) 1 2 n u = f x x x 在点 0 x 的沿方向v 的方向导数为 ( , , , ) 0 0 2 0 1 n x x x v f t f x t v x t v x t v f x x x n n n t ( , , , ) ( , , , ) lim 0 0 2 0 1 0 2 0 1 2 0 1 0 + + + − = → + ， （如果等式右面的极限存在的话）
全微分 对于函数z=f(x,y),记它的全增量为 Az=f(xo+Ax, yo +Ay)-f(o, yo) 定义12.1.3设DcR2为开集, z=f(x,y),(x,y)∈D 是定义在D上的二元函数,(x0,y)∈D为一定点。 若存在只与点(x02y)有关而与Ax,4y无关的常数A和B,使得 A=AAx+ BAy+olvAx+Ay), 这里(2+y)表示在x+y→0时比Ax2+y2高阶的无穷小 量。则称函数f在点(x0,y)处是可微的,并称其线性主要部分 AAx+B为f在点(x02y)处的全微分,记为dz(x0,y)或df(x0,)。 若(在Ax2+Ay2→0时)将自变量x,y的微分Ax,y分别记为 dx,dy,那么有全微分形式 d=(o, yo)=Adx+Bd
全微分 对于函数 z = f (x, y)，记它的全增量为 z = 0 0 0 0 f x x y y f x y ( , ) ( , ) + + − 。 定义 12.1.3 设 D 2 R 为开集， z f x y x y = ( , ), ( , ) D 是定义在 D 上的二元函数，( , ) 0 0 x y D 为一定点。 若存在只与点( , ) 0 0 x y 有关而与x, y 无关的常数 A 和 B，使得 z ( ) 2 2 = Ax + By + o x + y ， 这 里 ( ) 2 2 o x + y 表示在 0 x 2 + y 2 → 时 比 2 2 x + y 高阶的无穷小 量 。则称函数 f 在 点 ( , ) 0 0 x y 处 是可 微的，并称其线性主要部分 Ax + By为 f 在点( , ) 0 0 x y 处的全微分，记为d ( , ) 0 0 z x y 或d ( , ) 0 0 f x y 。 若（在 0 x 2 + y 2 → 时）将自变量 x, y 的微分 x, y 分别记为 d x, d y ，那么有全微分形式 d ( , ) 0 0 z x y = Ad x + B d y