§3 Green公式、 Gauss公式和 Stokes公式 Green公式 设L为平面上的一条曲线,它的方程是r()=x(1)i+y(t)j,a≤t≤B 如果r(a)=r(B),而且当t,l2∈(a,B),t1≠t2时总成立r(t1)≠r(t2),则称 L为简单闭曲线(或 Jordan曲线)。这就是说,简单闭曲线除两个端 点相重合外,曲线自身不相交 设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点,那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如,圆盘{(x,y)x2+y2<l}是单连通区域, 而圆环(x)2x2+y2<1是复连通区域
Green 公式 设L 为平面上的一条曲线，它的方程是 r(t) = x(t)i + y(t) j ， t 。 如果r() = r()，而且当 , ( , ) t 1 t 2 ， 1 2 t t 时总成立 ( ) ( ) 1 2 r t r t ，则称 L 为简单闭曲线（或 Jordan 曲线）。这就是说，简单闭曲线除两个端 点相重合外，曲线自身不相交。 设 D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以 不经过D外的点而连续地收缩成D中一点，那么D称为单连通区域。 否则它称为复连通区域。例如，圆盘{( , ) | 1} 2 2 x y x + y 是单连通区域， 而圆环 + 1 2 1 ( , ) 2 2 x y x y 是复连通区域。 §3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式
单连通区域D也可以这样叙述:D内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于D。因此,通俗地说,单连通区域之中不含有“洞”,而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D,给它的边界∂D规定一个正向:如果一个人沿aD 的这个方向行走时,D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向, 带有这样定向的D称为D的正向边界。例如,如图1431所示的区 域D由L与l所围成,那么在我们规定的正向下,L为逆时针方向,而 l为顺时针方向 L 图143.1
单连通区域 D 也可以这样叙述： D 内的任何一条封闭曲线所围的 点集仍属于 D 。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而 复连通区域之中会有“洞”。 对于平面区域D，给它的边界D规定一个正向：如果一个人沿D 的这个方向行走时，D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向， 带有这样定向的D称为D的正向边界。例如，如图 14.3.1 所示的区 域 D由L 与l 所围成，那么在我们规定的正向下，L 为逆时针方向，而 l 为顺时针方向。 D l L 图14.3.1
定理14.3.1( Green公式)设D为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数P(x,y),Qx,y)在D上具有 连续偏导数,那么 aO oP Pdx+Od ax a 其中D取正向,即诱导定向
定理 14.3.1（Green 公式） 设 D 为平面上由光滑或分段光滑的 简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数 P(x, y), Q(x, y)在D上具有 连续偏导数，那么 d d d d Q P P x Q y x y x y + = − D D ， 其中D取正向，即诱导定向
证先假设D可同时表示为以下两种形式 D={(x,y)y(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b} ={(x,y)kx1(y)≤x≤x2Oy),C≤y≤a} 的情形(这时平行于x轴或y轴的直线与区域D的边界至多交两点) 这样的区域称为标准区域 下面在这种假设下证明定理(参见图143.2)。 y=y2(x x=x,(y) y=y,(x) 图14.32
证 先假设 D 可同时表示为以下两种形式 1 2 D = {( , ) | ( ) ( ), } x y y x y y x a x b {( , )| ( ) ( ), } = x y x1 y x x2 y c y d 的情形（这时平行于x轴或 y 轴的直线与区域D的边界至多交两点）。 这样的区域称为标准区域。 下面在这种假设下证明定理（参见图 14.3.2）。 ( ) 2 x x y = ( ) 1 x = x y y=y x 2 ( ) y=y x 1 ( ) O a b x y c d 图14.3.2
aP dxdy=l d rr(aP (x) D SIP(x, y2(x))-P(x, y(x)]dx=- P(x, y,(x)dx-.P(x,y2(x)dx P(x, y)dx D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 x2(y)O O ax x()ax ∫pCx().y-(x(yx())+∫gQx))y =∫(xy)y。 D 两式合并就得到所需的结果
2 1 ( ) ( ) 2 1 1 2 d d d d ( , ( )) ( , ( )) d ( , ( ))d ( , ( ))d ( , )d , b y x a y x b b a a a b P P x y x y y y P x y x P x y x x P x y x x P x y x x P x y x = = − = − − = − D D 式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 d d d d ( ( ), ) ( ( ), ) d ( ( ), )d ( ( ), )d ( , )d d x y c x y d d c c c d Q Q x y y x x x Q x y y Q x y y y Q x y y y Q x y y y Q x y y = = − = + = 。 D D 两式合并就得到所需的结果