§4反常重积分 无界区域上的反常重积分 设D为平面R2上的无界区域,它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设D上的函数f(x,y)具有下述性质:它在D中有界的、可求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线r为一条面积为零的曲线, 它将D割出一个有界子区域,记为D,并记 d(厂) n 2+y2|(x,y)∈r 为厂到原点的距离。 D 图134.1
无界区域上的反常重积分 设 D为平面 2 R 上的无界区域,它的边界是由有限条光滑曲线组 成的。假设D上的函数 f (x, y) 具有下述性质:它在D中有界的、可求 面积的子区域上可积。并假设所取的割线 为一条面积为零的曲线, 它将D割出一个有界子区域,记为D ,并记 2 2 d x y x y ( ) inf | ( , ) = + 为 到原点的距离。 图 13.4.1 §4 反常重积分 D D
定义13.4.1若当d(门)趋于无穷大,即D趋于D时 9f(xy)dm的极限存在,就称∫(x)在D上可积,方公 f(x, y)dxdy= lim f(x, y)dxdy d(厂)→>+∞ 这个极限值称为f(x,y)在D上的反常二重积分,这时也称反常二重积 分( x, y)dxdy收敛。如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积 分发散
定义 13.4.1 若当 d ( ) 趋于无穷大,即 D 趋于 D 时, f x y x y ( , )d d D 的极限存在,就称 f (x, y) 在 D 上可积,并记 ( ) ( , )d d lim ( , )d d d f x y x y f x y x y →+ = D D 。 这个极限值称为 f (x, y) 在D上的反常二重积分,这时也称反常二重积 分 f x y x y ( , )d d D 收敛。如果右端的极限不存在,就称这一反常二重积 分发散
先考虑函数是非负的情况 引理13.4.1设f(x,y)为无界区域D上的非负函数。如果{n}是 列曲线,它们割出的D的有界子区域{D}满足 Dnc…,及limd(厂n) 则反常积分( x, y)dxdy在D上收敛的充分必要条件是:数列 D f(x,y)dxdy}收敛。且在收敛时成立 ∫(xy)drdy=lmn∫!f(xy)dy n→)
先考虑函数是非负的情况。 引理 13.4.1 设 f (x, y) 为无界区域 D 上的非负函数。如果 { } n 是 一列曲线,它们割出的D的有界子区域{ } D n 满足 D D D 1 2 n ,及 lim ( ) n n d → = +, 则反常积分 f x y x y ( , )d d D 在 D上收敛的充分必要条件是:数列 ( , )d d n f x y x y D 收敛。且在收敛时成立 f x y x y ( , )d d D lim ( , )d d n n f x y x y → = D
证必要性是显然的。下面证明充分性 如果{(x,y收敛,记回mj(x,y=。现在证明 Dn im f(x, y)dxdy=I d(r)→>+ 对于曲线,令以()=sp{x+y1(xy)∈r}。由假设 ind()=+∞得知,当n充分大时,成立d(Cn)>pP(1),因此由数列 /(x)u的单调增加性得到 f(x, y)dxdys ll f(x, y)dxdy <I
证 必要性是显然的。下面证明充分性。 如果 ( , )d d n f x y x y D 收敛,记lim ( , )d d n n f x y x y I → = D 。现在证明 ( ) lim ( , )d d d f x y x y I →+ = D 。 对于曲线,令 ( ) 2 2 = + sup | ( , ) x y x y 。由假设 lim ( ) n n d → = +得知,当n充分大时,成立 ( ) ( ) n d ,因此由数列 ( , )d d n f x y x y D 的单调增加性得到 ( , )d d ( , )d d n f x y x y f x y x y I D D
另一方面,由于数列{/(xyAd}收敛于1,对于任意正数e 存在正整数N,使得 f(, y)dxdy>l 因此当d()>p()时,有 ≥f(x,y)dxdy2‖f(x,y)dxdy>I-E 此即 imn‖lf(x,y)dxdy=l d(r)→>+
另一方面,由于数列 ( , )d d n f x y x y D 收敛于 I ,对于任意正数 , 存在正整数 N ,使得 ( , )d d N f x y x y I − D 。 因此当 ( ) ( ) N d 时,有 ( , )d d ( , )d d N I f x y x y f x y x y I − D D 。 此即 ( ) lim ( , )d d d f x y x y I →+ = D