第十四章曲线积分、曲面积分与场论 §1第一类曲线积分与第一类曲面积分 第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线L上任一点(x,y,z)处的线密度为 p(x,y,2)。将L分成n个小曲线段L(=1,2…,n),并在L上任取一点 (5,k1),那么当每个L的长度△s都很小时,L的质量就近似地等于 p(,,)As,于是整条L的质量就近似地等于 ∑p(5,7,5)△s 当对L的分割越来越细时,这个近似值的极限就是L的质量
第一类曲线积分 设一条具有质量的空间曲线 L 上任一点 (x, y,z) 处的线密度为 (x, y,z) 。将 L 分 成 n 个小曲线段 Li (i = 1,2, , n ），并在 Li 上任取一点 ( , , ) i i i ，那么当每个Li 的长度 si 都很小时，Li 的质量就近似地等于 i i i i ( , , )s ，于是整条L 的质量就近似地等于 = n i i i i i s 1 ( , , ) 。 当对 L 的分割越来越细时，这个近似值的极限就是 L 的质量。 §1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义14.1.1设L是空间R3上一条可求长的连续曲线,其端点 为A和B,函数f(x,y,2)在L上有界。令A=P,B=P。在L上从A到B顺 序地插入分点P1,P2…,Pn1,再分别在每个小弧段P1P上任取一点 (5,n1),并记第个小弧段P2P的长度为△(i=1,2,…,n),作和式 ∑f(5,7,5)A, 如果当所有小弧段的最大长度λ趋于零时,这个和式的极限存在,且 极限值与分点{P}的取法及弧段PP上的点(,n1)的取法无关,则称 这个极限值为f(x,y,=)在曲线L上的第一类曲线积分,记为 ∫f(xyA或∫f(P) 即 ∫/(xy)ds=m/(,m) 其中f(x,y,)称为被积函数,L称为积分路径
利用这一思想我们引入第一类曲线积分的概念。 定义 14.1.1 设L 是空间 3 R 上一条可求长的连续曲线，其端点 为 A和B ，函数 f (x, y,z)在L 上有界。令 A = P B = Pn , 0 。在L 上从 A到B 顺 序地插入分点 1 2 1 , , , P P Pn− ，再分别在每个小弧段Pi−1 Pi 上任取一点 ( , , ) i i i ,并记第i 个小弧段Pi−1 Pi 的长度为 si（i = 1,2, , n），作和式 = n i i i i i f s 1 ( , , ) 。 如果当所有小弧段的最大长度 趋于零时，这个和式的极限存在，且 极限值与分点{ } Pi 的取法及弧段Pi−1 Pi 上的点( , , ) i i i 的取法无关，则称 这个极限值为 f (x, y,z)在曲线L 上的第一类曲线积分，记为 ( , , )d L f x y z s 或 ( )d L f P s 。 即 0 1 ( , , )d lim ( , , ) n i i i i L i f x y z s f s → = = 。 其中 f (x, y,z)称为被积函数，L 称为积分路径
这样,本节一开始所要求的曲线L质量就可表为 M=∫P(x,yAs 在平面情形下,函数f(x,y)在平面曲线L上的第一类曲线积分记 为(x,Ad
这样，本节一开始所要求的曲线 L 质量就可表为 ( , , )d L M x y z s = 。 在平面情形下，函数 f (x, y)在平面曲线L 上的第一类曲线积分记 为 ( , )d L f x y s
第一类曲线积分具有以下性质: 性质1(线性性)如果函数f,g在L上的第一类曲线积分存在, 则对于任何常数a,B,af+Bg在L上的第一类曲线积分也存在,且成 立 (af+Bg)ds=a fds+B 性质2(路径可加性)设曲线L分成了两段L,L2。如果函数f在 上的第一类曲线积分存在,则它在L和L2上的第一类曲线积分也存 在。反之,如果函数f在L和L2上的第一类曲线积分存在,则它在L上 的第一类曲线积分也存在。并成立 fds= fds+ fds
第一类曲线积分具有以下性质： 性质 1 （线性性）如果函数 f , g 在L 上的第一类曲线积分存在， 则对于任何常数, ， f + g 在L 上的第一类曲线积分也存在，且成 立 ( )d d d L L L f g s f s g s + = + 。 性质 2（路径可加性）设曲线L 分成了两段 1 2 L L , 。如果函数 f 在 L 上的第一类曲线积分存在，则它在L1和L2上的第一类曲线积分也存 在。反之，如果函数 f 在L1和L2上的第一类曲线积分存在，则它在L 上 的第一类曲线积分也存在。并成立1 2 d d d L L L f s f s f s = +
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设L的方程为 x=x(1),y=y(t) ≤t≤B 其中x(),y(),x(x)具有连续导数,且x(.,y1(,=()不同时为零(即L为光 滑曲线),那么L是可求长的,且曲线的弧长为 Vx2(t)+y2(t)+z"(dt
现在讨论如何计算第一类曲线积分。设 L 的方程为 x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ， 其中x(t), y(t), z(t) 具有连续导数，且 x (t), y (t), z (t) 不同时为零（即L 为光 滑曲线），那么L 是可求长的，且曲线的弧长为 2 2 2 s x t y t z t t ( ) ( ) ( )d = + +