§2重积分的性质与计算 重积分的性质 性质1(线性性)设f和g都在区域Ω上可积,a,B为常数,则 o+Bg在Ω上也可积,并且 (af+Bg)dv=a fdv+Blgdv 性质2(区域可加性)设区域Ω被分成两个内点不相交的区域 Ω21和Ω2,如果∫在Ω上可积,则f在g1和Ω2上都可积;反之,如 果f在Ω21和g2上可积,则f也在g上可积。此时成立 fdv=fdv+fdv
重积分的性质 性质 1（线性性）设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，, 为常数，则 f + g 在 Ω 上也可积，并且 ( )d f g V + = f Vd + g Vd 。 性质 2（区域可加性） 设区域 Ω 被分成两个内点不相交的区域 Ω1和 Ω2，如果 f 在 Ω 上可积，则 f 在 Ω1和 Ω2上都可积；反之，如 果 f 在 Ω1和 Ω2上可积，则 f 也在 Ω 上可积。此时成立 f Vd 1 = f Vd + 2 f Vd 。 §2 重积分的性质与计算
性质3设被积函数∫=1。当n=2时 ∫dxdy=』dxdy=9的面积 当n≥3时 ∫d=∫ld=9的体积 性质4(保序性)设∫和g都在区域Ω上可积,且满足∫≤g, 则成立不等式 fdv≤|gd
性质 3 设被积函数 f 1。当 n = 2 时 d dx y = = 1 d dx y Ω 的面积； 当 n 3时 dV = = 1dV Ω 的体积。 性质 4 （保序性） 设 f 和g 都在区域 Ω 上可积，且满足 f g ， 则成立不等式 f Vd g Vd
性质5设∫在区域g上可积,M与m分别为f在g上的上确界 和下确界,则成立不等式 m≤fdW≤MV, 其中V当n=2时为g的面积,当n>2时为9的体积。 性质5是性质4的直接推论。 性质6(绝对可积性)设f在区域Ω上可积,则|∫也在Ω2上可 积,且成立不等式 ∫fdr|≤∫fd?
性质 5 设 f 在区域 Ω 上可积， M 与 m 分别为 f 在 Ω 上的上确界 和下确界，则成立不等式 m V f Vd M V ， 其中V 当n = 2时为 Ω 的面积，当n 2时为 Ω 的体积。 性质 5 是性质 4 的直接推论。 性质 6（绝对可积性） 设 f 在区域 Ω 上可积，则| f |也在 Ω 上可 积，且成立不等式 | f Vd | | | d f
性质7(乘积可积性)设∫和g都在区域g上可积,则∫·g也 在Ω2上可积 性质8(积分中值定理)设f和g都在区域Ω上可积,且g在g 上不变号。设M与m分别为f在Ω上的上确界和下确界,则存在常数 u∈[m,M],使得 f·gdV=|gdV。 特别地,如果∫在Ω上连续,则存在ξ∈Ω,使得 f gdv=f(5)gdv
性质 7 （乘积可积性） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，则 f g 也 在 Ω 上可积。 性质 8（积分中值定理） 设 f 和 g 都在区域 Ω 上可积，且 g 在 Ω 上不变号。设 M 与m分别为 f 在 Ω 上的上确界和下确界，则存在常数 [m,M ]，使得 f g V = d g Vd 。 特别地，如果 f 在 Ω 上连续，则存在 Ω，使得 f g V = d f ( ) g Vd
矩形区域上的重积分计算 设D=[an,b]×c,d是R2上的闭矩形,z=f(x,y是D上的非负连续函 数,则以D为底、曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积V正是二重积 分 f(x,y)dxdy f(x, y) 用过(x,00)(a≤x≤b)点,且与z yz平面平行的平面截这个曲顶柱 体,所得的截面是曲边梯形(见图 132.1),其面积为 A(x)=f(x,y)dy 图132.1
矩形区域上的重积分计算 设 D = [ , ] [ , ] a b c d 是 2 R 上的闭矩形，z = f (x, y)是D上的非负连续函 数，则以D为底、曲面z = f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积 V 正是二重积 分 f x y x y ( , )d d D 。 用过(x,0,0) (a x b)点，且与 yz 平面平行的平面截这个曲顶柱 体，所得的截面是曲边梯形（见图 13.2.1），其面积为 = d c A(x) f (x, y)d y。 a x b x y z z = f (x, y) O A(x) 图13.2.1