§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为m平面上的开集,V是xy平面上开集,映射 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r1:v=(x,y),v=V(x,y)。 在U中取直线u=l0,就相应得到x平面上的一条曲线 (u0,y),y=y(u0,v) 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的-曲线 (,v0),y=y(l,yv0
§3 重积分的变量代换
§3重积分的变量代换 曲线坐标 设U为m平面上的开集,V是xy平面上开集,映射 是U到v的一个一一对应,它的逆变换记为r1:v=(x,y),v=V(x,y)。 在U中取直线u=l0,就相应得到x平面上的一条曲线 (u0,y),y=y(u0,v) 称之为ν-曲线;同样,取直线v=v,就相应得到xy平面上的-曲线 (,v0),y=y(l,yv0 由于映射T是一一对应的,因此上的任意一点P既可以唯一地 用(x,y)表示,也可以唯一地用(u,0)表示。我们称v-曲线和v曲线构 成了曲线坐标网,称(,v)为P的曲线坐标,而称T为坐标变换
§3 重积分的变量代换
例如,在映射r:x=rcos,y=rsi下,-曲线是一族以原点 为圆心的同心圆,r-曲线是一族从原点出发的半射线,它们构成平 面上的极坐标网。(r,θ)为点P(x,y)的极坐标,T即为极坐标变换。 曲线 y曲线 图13.3.1
二重积分的变量代换 假设x=x(vn,ν),y=y(v,)具有连续偏导数,且有 a(x,y 0,则由 d(u v) 连续性可知xy)在U上不变号。因此,对U中任意具有分段光滑边 界的有界闭区域D,记它的像为E=7(D)cV,则D的内点和边界分别 被映为E的内点和边界,同时,由于连通集的像也连通,所以E=T(D) 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下,有如下的二 重积分的变量代换公式
定理13.3.1(二重积分变量代换公式)映射和区域D如上假 设。如果二元函数f(x,y)在(D)上连续,则 f(x, y)dxdy=ll f(x(u, v),y(u, v) dudu 0(l,v) 显然,当f(x,y) 时,由以上定理得 1(x, youd=m7(D)(即D)的面积) 0(l,y)