§5偏导数在几何中的应用 空间曲线的切线和法平面 条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系,设质点在时刻t位于点P(x(),y(),=(m)处,即它在任一时刻 的坐标可用 x三x y=y(t),a≤t≤b z=2(1) 来表示,随着t的连续变动,相应点(x,y,2)的轨迹就是空间中的一条 曲线 这种表达式称为空间曲线的参数方程,它也可以写成向量的形式 r()=x(1)i+y(t)j+z(t)k,a≤t≤b
空间曲线的切线和法平面 一条空间曲线可以看成一个质点在空间运动的轨迹。取定一个直 角坐标系，设质点在时刻t 位于点P(x(t), y(t), z(t))处，即它在任一时刻 的坐标可用 a t b z z t y y t x x t = = = ( ), ( ), ( ), 来表示，随着t 的连续变动，相应点(x, y,z) 的轨迹就是空间中的一条 曲线。 这种表达式称为空间曲线的参数方程，它也可以写成向量的形式 r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k, a t b。 §5 偏导数在几何中的应用
定义12.5.1若r′( +y(1)j+z(1)k在[a,b上连续,并且 r()≠0,t∈[a,b],则称 r()=x(t)i+y(t)j+z()k,a≤t≤b 所确定的空间曲线为光滑曲线 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动
定 义 12.5.1 若 r(t) = x (t)i + y (t) j + z (t)k 在 [a,b] 上连续，并 且 r(t) 0, t [a,b]，则称 r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k, a t b 所确定的空间曲线为光滑曲线。 光滑曲线的切线位置随切点在曲线上的位置变动而连续变动
现在讨论光滑曲线r上一点P2(x(t0)y(t0,(t0)处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同,即为割线的极限位置。 记x=x(0),y=y(10)=0=z(t0)。取r上另一点P(x(t),y()(x),则 过P和P的割线方程为 X-x x()-x(t0)y(t)-y(t0)z(1)-(t0) 将其改写为 x(1)-x(0)y(1)-y()z(1)-z(t0) 再令t→b,就得到曲线r在P点的切线方程 y=yo x(t0)y(t0)
现在讨论光滑曲线 上一点 ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 P x t y t z t 处的切线。空间曲 线的切线的定义与平面的情况相同，即为割线的极限位置。 记 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 0 0 0 x = x t y = y t z = z t 。 取 上另一点 ( ( ), ( ), ( )) 1 P x t y t z t ， 则 过P0 和P1的割线方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z t z z y t y t y y x t x t x x − − = − − = − − 。 将其改写为 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t z t z t z z t t y t y t y y t t x t x t x x − − − = − − − = − − − ， 再令 0 t →t ，就得到曲线 在P0点的切线方程 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x − = − = −
注当x()≠0,y(t)≠0,=(n)=0时,这个公式应理解为 Do y-yo 当x(n)≠0,y(n)=0,=(a)=0时,这个公式应理解为 向量r(t)=(x(t)y(t0),z(t0)就是曲线厂在P点的切线的一个方 向向量,也称为r在P点的切向量
注 当 x (t 0 ) 0, y (t 0 ) 0, z (t 0 ) = 0 时，这个公式应理解为 = − = − . , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z z y t y y x t x x 当 0 0 0 x t y t z t ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 = = 时，这个公式应理解为 0 0 , . y y z z = = 向 量 ( ) ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 0 r t = x t y t z t 就是曲线 在 P0 点的切线的一个方 向向量，也称为 在 P0 点的切向量
过P点且与切线垂直的平面称为曲线r在P点的法平面。显然, 该法平面的一个法向量就是r在P点的切向量,因此曲线r在P点的 法平面方程可写成 x'(to(x-xo)+y(to(y-yo)+2(t(2-20)=0 或写成等价的向量形式 r'(t0)·(x-x0)=0
过 P0 点且与切线垂直的平面称为曲线 在 P0 点的法平面。显然， 该法平面的一个法向量就是 在P0 点的切向量，因此曲线 在P0 点的 法平面方程可写成x (t 0 )(x − x0 ) + y (t 0 )( y − y0 ) + z (t 0 )(z − z0 ) = 0， 或写成等价的向量形式 r(t 0 )(x − x0 ) = 0