§5微分形式 有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 f(x, y)dxdy=llf(x(u,v),y(u, v)) (x,y dud v a(u,v) 时已经指出,加了绝对值号的 Jacobi列式x,则的几何意义是xy平 u, 面的面积微元dxdy与平面的面积微元dalv之间的比例系数。那么, 不加绝对值号的 Jacobi列式axy)的几何意义又是什么呢?一个顺 a(,v) 理成章的回答应该是,它代表带符号的面积微元之间的比例系数
有向面积与向量的外积 前面导出二重积分变量代换公式 ( ) ( , ) ( , )d d ( ( , ), ( , )) d d ( , ) T x y f x y x y f x u v y u v u v u v = D D 时已经指出，加了绝对值号的 Jacobi 行列式 ( , ) ( , ) u v x y 的几何意义是xy平 面的面积微元d dx y 与uv平面的面积微元d du v之间的比例系数。那么， 不加绝对值号的 Jacobi 行列式 ( , ) ( , ) u v x y 的几何意义又是什么呢？一个顺 理成章的回答应该是，它代表带符号的面积微元之间的比例系数。 §5 微分形式
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发, 给出一个定义有向面积的例子 设a=(a,a2),b=(b,b1)为平面R2上两个线性无关向量,Ⅱ为R2上 由向量a和b所张成的平行四边形,我们规定:如果从向量a出发在∏ 中旋转到b是逆时针方向(即a的方向,b的方向和指向读者的方向 成右手定则,见图13.5.1),这个平行四边形的面积为正,否则为负。 b ∏ 图13.5.1
带符号的面积称为有向面积。下面从最简单的平行四边形出发， 给出一个定义有向面积的例子。 设 ( , ) a = a1 a2 ， ( , ) b = b1 b2 为平面 2 R 上两个线性无关向量，为 2 R 上 由向量 a 和 b 所张成的平行四边形，我们规定：如果从向量 a 出发在 中旋转到 b 是逆时针方向（即 a 的方向，b 的方向和指向读者的方向 成右手定则，见图 13.5.1），这个平行四边形的面积为正，否则为负。 b a 图 13.5.1
容易看出,二阶行列式问正是由a和b所张成的平行四边形 b, b2 ∏的有向面积:由解析几何知道,它的绝对值就是Ⅱ在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 a=(r cos e, r sin 0), b=(r cos 0,, r, sin 0,), 若从a出发在n中旋转到b是逆时针方向的,则有B<B2<1+π,因 此 16 b=i2(cos 0, sin e2-sinBy cos 02)=i"2 sin(02-0)>0 与Ⅱ的有向面积的符号规定一致。 若交换a和b的位置,即从a出发在∏中旋转到b是顺时针方向 的,则结果反号 我们将这种运算称为向量a与b的外积,记为a^b,即 a入b= b2
容易看出，二阶行列式 1 2 1 2 b b a a 正是由 a 和 b 所张成的平行四边形 的有向面积：由解析几何知道，它的绝对值就是在普通意义下的 面积。将这两个向量用极坐标表示为 ( cos , sin ), ( cos , sin ) 1 1 1 1 2 2 2 2 a = r r b = r r ， 若从 a 出发在中旋转到 b 是逆时针方向的，则有 1 2 1 + π，因 此 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 (cos sin sin cos ) sin( ) 0 a a r r r r b b = − = − ， 与的有向面积的符号规定一致。 若交换 a 和 b 的位置，即从 a 出发在中旋转到 b 是顺时针方向 的，则结果反号。 我们将这种运算称为向量 a 与 b 的外积，记为 a b，即 a b = 1 2 1 2 b b a a
易验证外积运算具有以下性质 (1)反称性 ab=-ab,a、b 由此立即得出 a入a=0,a∈R (2)双线性(分配律) a∧(b+c)=a∧b+a∧C, (a+b)∧C=a∧c+b∧C, a.b.c∈R2.A∈R。 (aAb=aA(b)=nanb)
易验证外积运算具有以下性质： （1）反称性 a b = - a b，a, b 2 R , 由此立即得出 a a = 0， a 2 R 。 （2）双线性（分配律） a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c, a, b, c 2 R , R 。 (a) b = a (b ) = (a b )
例13.5.1设e1,e2为R2上的一组基(不一定要求正交), a1e1 take ,=a,;e1+a,e 是R2中的任意两个向量,那么由外积的性质得到 a1∧a2=(a12e1+a12e2)^(a2e1+a2e2) =a1a21e1^e1+a12e1^e2+a12a21e2^e1+a12a2e2^e2 a1a2e1^e2++a12a21e2^e1 a
例 13.5.1 设 1 e ， 2 e 为 2 R 上的一组基（不一定要求正交）， 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 , a e e a e e a a a a = + = + 是 2 R 中的任意两个向量，那么由外积的性质得到 a1 a2 = ( 11 1 12 2 a e + a e ) ( 21 1 22 2 a e + a e ) = a11a21 1 e 1 e +a11a22 1 e 2 e +a12a21 2 e 1 e +a12a22 2 e 2 e = a11a22 1 e 2 e ++a12a21 2 e 1 e =( a11a22 -a12a21 ) 1 e 2 e 21 22 11 12 a a a a = 1 e 2 e