§3连续函数的性质 紧集上的连续映射 为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函 数,为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。 定义11.3.1设点集KCR,f:K→R为映射(向量值函数) x∈K。如果对于任意给定的>0,存在δ>0,使得当x∈O(xn,O)∩K 时,成立 f(x)-f(x)<6(即f(x)∈O(f(x)6)) 则称∫在点x连续 如果映射∫在K上每一点连续,就称∫在K上连续,或称映射 f为K上的连续映射
紧集上的连续映射 为了将一元连续函数在闭区间上的重要性质推广到多元连续函 数，为此先定义多元函数在点集的边界点连续的概念。 定义 11.3.1 设点集 K n R ，f : K→ m R 为映射（向量值函数）， x K 0 。如果对于任意给定的 0，存在 0，使得当 0 x x K O( , ) 时，成立 ( ) − ( ) x0 f x f （即 ( ) ( ( ), ) 0 f x O f x ）， 则称 f 在点 0 x 连续。 如果映射 f 在 K 上每一点连续，就称 f 在 K 上连续，或称映射 f 为 K 上的连续映射。 §3 连续函数的性质
也就是说,当x。是K的内点时,这就是原来的定义;当xn是K 的边界点时,只要求∫在x的δ邻域中属于K的那些点上满足不等 式 f(x)-f(x)< 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较
也就是说，当 0 x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当 0 x 是 K 的边界点时，只要求 f 在 0 x 的 邻域中属于 K 的那些点上满足不等 式 ( ) − ( ) x0 f x f 。 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较
也就是说,当x。是K的内点时,这就是原来的定义;当xn是K 的边界点时,只要求∫在x的δ邻域中属于K的那些点上满足不等 式 f(x)f(xo)<8 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较 闭区间实质上是一维空间中的有界闭集,在讨论高维空间上连 续函数的性质时,应该要求∫的定义域是高维空间中的有界闭集, 即紧集
闭区间实质上是一维空间中的有界闭集，在讨论高维空间上连 续函数的性质时，应该要求 f 的定义域是高维空间中的有界闭集， 即紧集。 也就是说，当 0 x 是 K 的内点时，这就是原来的定义；当 0 x 是 K 的边界点时，只要求 f 在 0 x 的 邻域中属于 K 的那些点上满足不等 式 ( ) − ( ) x0 f x f 。 请读者与一元函数的单侧连续定义相比较
定理11.3.1连续映射将紧集映射成紧集。 证设K是R"中紧集,∫:K→丶R为连续映射。要证明K的像集 f∫(K)={y∈R"|y=f(x),x∈K} 是紧集,根据定理11.1.10,只要证明中的任意一个无限点集必有聚 属于f(k)就可以了。因为每一个无限点集都有可列无限点集,即 点列的子集,所以只要证明f(K)的任意一个点列必有聚点属于f(K) 即可
定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证 设 K 是 n R 中紧集， : → m f K R 为连续映射。要证明 K 的像集 ( ) { | ( ), } m f K y y f x x K = = R 是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于 f K( )就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即 点列的子集，所以只要证明 f K( )的任意一个点列必有聚点属于 f K( ) 即可
定理11.3.1连续映射将紧集映射成紧集。 证设K是R"中紧集,∫:K→丶R为连续映射。要证明K的像集 f∫(K)={y∈R"|y=f(x),x∈K} 是紧集,根据定理11.1.10,只要证明中的任意一个无限点集必有聚 属于f(k)就可以了。因为每一个无限点集都有可列无限点集,即 点列的子集,所以只要证明f(K)的任意一个点列必有聚点属于f(K) 即可。 设{}为f(K)的任意一个点列。对于每个y,任取一个满足f(x) yk的xk∈K(k=1,2,…),则{xk}为紧集K中的点列,它必有聚点属 于K,即存在{xk}的子列{x4}满足 imx.=a∈K 1→∞ 由∫在a点的连续性得 imy,=limf(x)=∫(a), 即f(a)是{yk}的一个聚点,它显然属于f(K)。因此,f(k)是紧集
设{yk}为 f K( ) 的任意一个点列。对于每个 yk，任取一个满足 f (xk ) = yk的 xk K （k = 1,2, ），则{xk}为紧集 K 中的点列，它必有聚点属 于 K，即存在{xk}的子列{ } l xk 满足= → x a l k l lim K 。 由 f 在 a 点的连续性得 lim y = lim f (x ) = f (a) → l → l k l k l ， 即 f (a) 是{yk}的一个聚点，它显然属于 f K( )。因此， f K( )是紧集。 定理 11.3.1 连续映射将紧集映射成紧集。 证 设 K 是 n R 中紧集， : → m f K R 为连续映射。要证明 K 的像集 ( ) { | ( ), } m f K y y f x x K = = R 是紧集，根据定理 11.1.10，只要证明中的任意一个无限点集必有聚 点属于 f K( )就可以了。 因为每一个无限点集都有可列无限点集，即 点列的子集，所以只要证明 f K( )的任意一个点列必有聚点属于 f K( ) 即可