说明: (1)如果函数∫在点(x0y)处可微,则∫在点(x0y)处是连续的, 即可微必连续。 (2)若4y=0,则得到 f(x+Ax, yo)-f(xo, yo)=AAx +o(Ax) 于是 lim f(xo+Ax, yo)-(Yo JO2=4 Ax->0 △x 所以(x0,y)=A。同理可证(x0,y)=B。因此可微必可偏导,同时, 得到全微分公式 d f(xo, yo)=2(xo, yo)dx+.(xo, yo)d y ax
说明： （1）如果函数 f 在点( , ) 0 0 x y 处可微，则 f 在点( , ) 0 0 x y 处是连续的， 即可微必连续。 （2）若 y =0，则得到 f (x + x, y ) − f (x , y ) = Ax + o(x) 0 0 0 0 ， 于是 A x f x x y f x y x = + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ， 所以 x y A x f = ( , ) 0 0 。同理可证 x y B y f = ( , ) 0 0 。因此可微必可偏导，同时， 得到全微分公式 x y y y f x y x x f d f (x0 , y0 ) ( 0 , 0 )d ( 0 , 0 )d + =
例12.1.6求函数z=e在点(2,)处的全微分 解由于 az xe 则a(,1)=e,(2,)=2。所以函数在点(21处的全微分为 dz=e dx+2e dy
例 12.1.6 求函数 xy z = e 在点 (2,1) 处的全微分。 解 由于 xy xy x y z y x z e , = e = ， 则 2 2 (2, 1) e , (2, 1) = 2e = y z x z 。所以函数在点(2,1) 处的全微分为 d z e d x 2e d y 2 2 = +
定理12.1.1设DR为开集,(x0y)∈D为一定点。如果函数 二=f(x,y)2(x,y)∈D 在(x0y)可微,那么对于任一方向v=(cosa,sma),f在(x0,y)点沿方 向p的方向导数存在,且 of (o, yo)=2(xo, yo)cos a+2(xo, yo)sin a 证由定义和全微分公式,得 af (x0,y0)=lm f(xo +t cosa, yo+tsin a)-f(o, yo (o, yo)t cos a+2(xo, yo )tsin a+o(t) =lim t→0+ af (xo, yo)cos a+2(xo, yo)sin a
定理 12.1.1 设 D 2 R 为开集，( , ) 0 0 x y D为一定点。如果函数 z f x y x y = ( , ), ( , ) D 在( , ) 0 0 x y 可微，那么对于任一方向v = (cos,sin )， f 在( , ) 0 0 x y 点沿方 向v 的方向导数存在，且 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) cos (x0 , y0 )sin y f x y x f x y v f + = 。 证 由定义和全微分公式，得 t f x t y t f x y x y v f t ( cos , sin ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 + + − = → + t x y t o t y f x y t x f t ( , ) cos ( , ) sin ( ) lim 0 0 0 0 0 + + = → + ( 0 , 0 ) cos (x0 , y0 )sin y f x y x f + =
如果函数∫在开集(或区域)D上的每一点都是可微的,则称f 在D上可微。此时成立 dz=x(x, y)dx+r(x, y)dy (3)用同样的思想可以定义一般n元函数u=f(x,x2…,xn)的全 微分,并可得到 f dx, +d 可dxn° 如果=∫(x1,x2,…,x)在x=(x1,x2…,xn)点可微,那么 af af af COs ,+-cos.+ cose 其中v=(cosB1,cos2…,cosn)为一方向,而b就是p与x轴正向的夹角
如果函数 f 在开集（或区域）D上的每一点都是可微的，则称 f 在 D上可微。此时成立 x y y y f x y x x f d z ( , )d ( , )d + = 。 （3）用同样的思想可以定义一般n元函数 ( , , , ) 1 2 n u = f x x x 的 全 微分，并可得到 n n x x f x x f x x f du d d 2 d 2 1 1 + + + = 。 如果 ( , , , ) 1 2 n u = f x x x 在 x ( , , , ) 1 2 n = x x x 点可微，那么n n x f x f x f v f cos cos 2 cos 2 1 1 + + + = ， 其中 (cos ,cos , ,cos ) = 1 2 n v 为一方向，而 i就是v 与 i x 轴正向的夹角