§3中值定理和 Taylor公式 中值定理 定义12.3.1设DcR"是区域。若连结D中任意两点的线段都完 全属于D,即对于任意两点x,x1∈D和一切λ∈[01,恒有 o+A(x1-x0)∈D, 则称D为凸区域 例如R2上的开圆盘 D={(x,y)∈R2|(x-a)2+(y-b)2<r2 就是凸区域
中值定理 定义 12.3.1 设 n D R 是区域。若连结D中任意两点的线段都完 全属于D，即对于任意两点 0 x ， 1 x D和一切 [0,1]，恒有 ( ) x0 + x1 − x0 D， 则称D为凸区域。 例如 2 R 上的开圆盘 2 2 2 2 D = − + − {( , ) | ( ) ( ) } x y x a y b r R 就是凸区域。 §3 中值定理和Taylor公式
定理12.3.1(中值定理)设二元函数f(x,y)在凸区域DcR2上 可微,则对于D内任意两点(x0,y)和(x0+Ax,y+4y),至少存在一个O (0<<1),使得 f(xo +Ar, yo +Ay)-f(xo,y =f(x+的Ax,y的y)Ax+f,(xo+的Ax,yo+的y)Ay 证因为D是凸区域,所以 (x+Ax,y+t小y)∈D,t∈[0.1 作辅助函数 (1)=f(x0+1x,y+1Ay), 这是定义在[0,上的一元函数,由已知条件,g(1)在[0连续,在(0,)可 导,且 (t)=f(xo+tAx, yo+ tAy)Ax+f(o+tAx, yo tAy)Ay 由 Lagrange中值定理,可知存在θ(0<θ<1),使得 qp(1)-(0)=q(6)。 注意(1)=f(x+Ax,y+4y),(0)=f(x0,y),并将g()的表达式代入上 式,即得到定理的结论
定理 12.3.1 (中值定理) 设二元函数 f (x, y)在凸区域 2 D R 上 可微，则对于D内任意两点( , ) 0 0 x y 和( , ) 0 0 x + x y + y ，至少存在一个 （0 1），使得 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x y y x f x x y y y f x x y y f x y = x + + + y + + + + − 证 因为D是凸区域，所以 0 0 ( , ) x t x y t y + + D，t [0,1]。 作辅助函数 ( ) ( , ) 0 0 t = f x + tx y + ty ， 这是定义在[0,1]上的一元函数，由已知条件，(t)在[0,1]连续，在(0,1) 可 导，且 t f x t x y t y x f x t x y t y y ( ) = x ( 0 + , 0 + ) + y ( 0 + , 0 + ) 。 由 Lagrange 中值定理，可知存在 （0 1），使得 (1) −(0) = ()。 注意 (1) ( , ) 0 0 = f x + x y + y ， (0) ( , ) 0 0 = f x y ，并将(t)的表达式代入上 式，即得到定理的结论
推论12.3.1如果函数∫(x,y)在区域DcR2上的偏导数恒为零, 那么它在D上必是常值函数。 证设(x,y)是区域D上任意一点,则存在r>0,使得点(x,y)的 邻域O(x,y,r)cD。由定理12.3.1,对任意的(x,y)∈O(x,y"),r),存 在θ(0<θ<1),使得 f(x,y)-f(x3y)=f2(x+x,y+6小y)Ax+f,(x+Ax,y+的y)Ay=0 其中Ax=x-x,4y=y-y。因此 f(x,y)=f(x’,y),(x,y)∈O(x,y)r), 即f(x,y)在O(x,y),r)上是常值函数。 现设(x,y)为区域D上一定点,(x,y)为区域D上任意一点,则存 在连续映射y:[0→D,满足(0,1)<D,y(0)=(x02y),y(1)=(x,y), 即y是区域D中以(xn,y)为起点,以(x,y)为终点的道路。于是函数 f(y(ω)在[0,连续,且满足 f(y(0)=f(x0,y),f(y(1)=f(x,y)
推论 12.3.1 如果函数 f (x, y)在区域 2 D R 上的偏导数恒为零， 那么它在D上必是常值函数。 证 设(x , y )是区域D上任意一点，则存在r 0，使得点(x , y )的 邻域O((x , y ),r ) D 。由定理 12.3.1，对任意的(x, y) O((x , y ),r )，存 在 （0 1），使得 f (x, y) − f (x , y ) = f x (x +x, y +y)x + f y (x +x, y +y)y = 0， 其中x = x − x ，y = y − y 。因此 f (x, y) = f (x , y )，(x, y) O((x , y ),r )， 即 f (x, y)在O((x , y ),r )上是常值函数。 现设( , ) 0 0 x y 为区域D上一定点，(x, y)为区域D上任意一点，则存 在连续映射 :[0,1] → D，满足 ([0,1]) D， (0) = ( , ) 0 0 x y ， (1) = (x, y)， 即 是区域 D 中 以( , ) 0 0 x y 为起点，以(x, y)为终点的道路。于是函数 f ( (t))在[0,1]连续，且满足 ( (0)) ( , ) 0 0 f = f x y ， f ( (1)) = f (x, y)
记 to=sup{s∈[0,1]1f(()=f(y(0)=f(x0,y0,t∈[0,]}, 则t0>0,且由f(x()的连续性,有f((n0)=f(xn,y)。 由于y(t)∈D,根据上面的证明,存在y(t)的邻域O(y(t0),),使 得O((t0))cD,且对于一切(x,y)∈O(y(t0)),成立 f(x, y)=f(r(to)=f(o, yo) 如果t<1,由y(m)的连续性可知,对于充分小的A>0,有t0+M<1 及y(o+△n)∈O(y(t0),),从而又成立f(y(t0+△)=f(y(t0)=f(x0,y), 这与t的定义矛盾,于是必有to=1。所以 f(x,y)=f((1)=f(y(0)=f(x,y0), 即f(x,y)在D上是常值函数
记 sup{ [0,1]| ( ( )) ( (0)) ( , ), [0, ]} 0 0 0 t = s f t = f = f x y t s ， 则t 0 0，且由 f ( (t))的连续性，有 ( ( )) ( , ) 0 0 0 f t = f x y 。 由于 0 ( ) t D，根据上面的证明，存在 ( ) 0 t 的邻域 ( ( ), ) 0 0 O t r ，使 得O( (t 0 ),r0 ) D，且对于一切(x, y) ( ( ), ) 0 0 O t r ，成立 f (x, y) = ( ( )) ( , ) 0 0 0 f t = f x y 。 如果t 0 1，由 (t)的连续性可知，对于充分小的t 0，有t 0 + t 1 及 ( ) ( ( ), ) 0 0 0 t + t O t r ，从而又成立 ( ( )) 0 f t + t ( ( )) ( , ) 0 0 0 = f t = f x y ， 这与 0 t 的定义矛盾，于是必有t 0 = 1。所以 ( , ) ( (1)) ( (0)) ( , ) 0 0 f x y = f = f = f x y ， 即 f (x, y)在D上是常值函数
下面是一般n元函数的中值定理。 定理1232设n元函数f(x1,x2…,x)在凸区域DcR"上连续, 且在D上可微,则对于D内任意两点(x,x2…,x)和 (x+Ax1,x2+△x2…,x+△x),至少存在一个(0<<1),使得 f(x+△x1,x2+△x2,…,x+△xn)-f(x,x2,…,x2) ∑f(x3+0x,x2+0x2…,x+aAxn)Ax1
下面是一般 n 元函数的中值定理。 定理 12.3.2 设n元函数 ( , , , ) 1 2 n f x x x 在凸区域 n D R 上连续， 且 在 D 上可微，则对于 D 内任意两点 ( , , , ) 0 0 2 0 1 n x x x 和 ( , , , ) 0 2 0 1 2 0 1 n n x + x x + x x + x ，至少存在一个 （0 1），使得 ( , , , ) ( , , , ) 0 0 2 0 1 0 2 0 1 2 0 1 n n n f x + x x + x x + x − f x x x n n i n i x f x x x x x x x i = + + + = ( , , , ) 0 2 0 1 2 0 1 1