例121.1设f(x,y)=x2+2x2y+y,求f(x,y),f,(x,y,f(01)和 f,(0,1)。 解把y看成常数,对x求导便得 f(x,y)=4x+4xy 于是f(01)=0 把x看成常数,对y求导便得 f,(x,y)=2x2+4 于是∫,(0,1)=4
例 12.1.1 设 4 2 4 f (x, y) = x + 2x y + y ，求 f (x, y) x ， f (x, y) y ， (0,1) x f 和 (0,1) y f 。 解 把 y 看成常数，对x求导便得 f x y x xy x ( , ) 4 4 3 = + 。 于是 f x (0,1) = 0。 把 x看成常数，对 y 求导便得 2 3 f (x, y) 2x 4y y = + 。 于是 f y (0,1) = 4
例12.1.2求函数n=h(x+y2+x3)的偏导数。 解 au 2 az y
例 12.1.2 求函数 ln( ) 2 3 u = x + y + z 的偏导数。 解 2 3 1 x x y z u + + = ， 2 3 2 x y z y y u + + = ， 2 3 2 3 x y z z z u + + =
例12.1.2求函数n=h(x+y2+x3)的偏导数。 解 au 2 az y 例12.1.3设z=x”(x>0.,x≠1),证明它满足方程 x az1 az 2 y nx oy 证由于=yx-,=xhx,因此 az 1 az x yr+ In x=2x=2= y Ox hn x Oy y In
例 12.1.3 设 z = x (x 0, x 1) y ，证明它满足方程 z y z x x z y x 2 ln 1 = + 。 证 由于 x x y z yx x z y y , ln 1 = = − ，因此 x x x z x yx y x y z x x z y x y y y ln 2 2 ln 1 ln 1 1 = + = = + − 。 例 12.1.2 求函数 ln( ) 2 3 u = x + y + z 的偏导数。 解 2 3 1 x x y z u + + = ， 2 3 2 x y z y y u + + = ， 2 3 2 3 x y z z z u + + =
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质,但对多元函 数来讲,类似性质并不成立,即可偏导未必连续 例12.1.4设 x f(x, y) x+y2,(x,y)≠(00) 0 (x,y)=(00) 计算f(0,0),f,(00) 解由定义得到 Ax.0 0 f2(00)=lim f(0+△x,O)-f(0,0) lim lim Ax→0 Ax->0 Ax→0 同理f,(0,0)=0。这说明了f(x,y)在(00)点可偏导 但我们已经知道,f(x,y)在(00)点不连续
“可导必定连续”是一元函数中的一条熟知的性质，但对多元函 数来讲，类似性质并不成立，即可偏导未必连续。 例 12.1.4 设 = = + 0, ( , ) (0,0). , ( , ) (0,0), ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 计算 (0,0), (0,0) x y f f 。 解 由定义得到 0 0 lim 0 0 0 lim (0 ,0) (0,0) (0,0) lim 0 2 2 0 0 = = − + = + − = → → x → x x x x f x f f x x x x 。 同理 f y (0,0) = 0。这说明了 f (x, y)在(0,0) 点可偏导。 但我们已经知道， f (x, y)在(0,0) 点不连续
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿x轴方向或y轴方向的变化率。而在 平面R2上,当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率 R2中的单位向量v总可以表示为v=(cosa,sina),这里a为v与x轴 正向的夹角,因此v代表了一个方向,cosa,sna(=cosB)就是v的方向 余弦(其中B为v与y轴正向的夹角)。设P(xny)∈R2,则以P为起 点,方向为v的射线(图121.2)的参数方程为 x=OP+t=(xo+ t cosa,y+ t sin a),t≥0。 v=(cos a, sin a) B(x0,y0) 图12.1.2
方向导数 偏导数反映的是二元函数沿 x轴方向或 y 轴方向的变化率。而在 平面 2 R 上，当然也可以讨论函数沿任一射线方向的变化率。 2 R 中的单位向量v 总可以表示为v = (cos,sin )，这里 为v 与x轴 正向的夹角，因此v 代表了一个方向，cos, sin (= cos )就是v 的方向 余弦（其中 为v 与 y 轴正向的夹角）。设 P0 (x0 , y0 ) 2 R ，则以 P0 为起 点，方向为v 的射线（图 12.1.2）的参数方程为 x = OP0 + tv = ( cos , sin ) x0 + t y0 + t ， t 0 。 y v = (cos,sin ) O x 图 12.1.2 0 0 0 P x y ( )