例1 求y=x3-2x2+sinx的导数。解 J'=3x2-4x +cosx.例2 求 y= sin2x·lnx的导数。解 : y= 2sin x·cosx·ln xy' = 2cosx.cosx.lnx + 2sin x .(-sin x).ln x1+ 2sin xcos x .x1= 2cos 2x ln x + = sin 2x.x
例 1 2 sin . 求 y = x3 − x2 + x 的导数 解 2 y = 3x − 4x 例2 求 y = sin2x ln x 的导数 . 解 y = 2sin x cos x ln x y = 2cos x cos x ln x + 2sin x (− sin x) ln x x x x 1 + 2sin cos + cos x. sin 2 . 1 2cos 2 ln x x = x x +
'y-uvu例3 求 y=tanx的导数。sin x解 y=(tan x):*-cos x(sinx)'cos x- sinx(cos x)cos? xcos? x + sin? x1seo.cos"xcos" x(tanx)' = sec’ x.即(cot x)' = -csc2 x.同理可得
例3 求 y = tan x 的导数 . 解 y = (tan x) x 2 cos = x x x 2 2 2 cos cos + sin = x x 2 2 sec cos 1 = = (tan ) sec . 2 x = x 同理可得 (cot x) = x x cos sin 即 csc . 2 = − x 2 v u v uv v u − = (sinx)cos x− sin x(cos x)
(例4 求 y= secx的导数。sin x_-(cos x)解 y'=(sec x)'= (cos" x2cos'xcosx= secx.tanx即(secx)'= secx·tanx(C2GX)= - C2CX· COT X同理可得
例4 求 y = sec x 的导数 . 解 ) cos 1 = (sec ) = ( x y x x x 2 cos − (cos ) = = sec x tan x. x x 2 cos sin = (csc x) = −csc x cot x 同理可得 = ( ) 1 v x ( ) ( ) 2 v x − v x 即 (sec x) = sec x tan x
用求导法则与用定义求导数时，结果有时不一致这是为什么？如已知f(x)=/x sinx,求f'(O)1sinx+x/3解f'(x)cosx.3x2/3f'(0)无意义,所以,f'(0)不存在上述解法有问题吗？注意问题出在x=0处f(x)不连续.因此f(x)可能在不连续点处不代表该点处的导数值，1sinx+/x cosx, 当x±0时3x2/3f'(x) =当x=0时,0,用定义！
用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致, 这是为什么? 如已知 ( ) sin , (0). 3 f x = x x 求f 无意义, 解 sin cos . 3 1 ( ) 1 3 2 3 x x x x f x = + f (0) 所以, f (0) 不存在. 上述解法有问题吗? 注意问题出在 x = 0处f (x) 不连续.因此 f ( x) 可能在不连续点处不代表该点处的导数值. 当x 0时, f ( x) = 当x = 0时, 0, 用定义! sin cos , 3 1 3 2 3 x x x x +
第一章第九节定理2：单调的连续函数必有单二、反函数求导法则调的连续反函数定理2如果函数x= f(v)在某区间I.内单调可导且f'(y)0,那末它的反函数y= f-l(x)在对应区间I,内也可导,且dy[f- (x)]}' =或dxdxf'(y)dy证M1lim[f-I(x)}' = limAy-0Arf'(y)Ar-0 AxAy反函数的导数等于直接函数导数的倒数
( ) 1 [ ( )] 1 f y f x = − 或 . d d 1 d d y x x y = 第一章第九节定理2: 单调的连续函数必有单 调的连续反函数. 定理2 如果函数x = f ( y)在某区间I y 内单调、 且f ( y) 0 , 那末它的反函数y = f −1 ( x)在 对应区间 内也可导, x I 且 可导 二、反函数求导法则 证 , x 任取x I 给x以增量x ( ) ( ) 1 1 y f x x f x − − = + − 连续, ( 0, ) x x x + x I 0, . 1 y x = x y lim 0, 0 = → y x ( ) 1 y f x − = 故 从而 有 0 lim x→ 0 lim y→ . ( ) 1 f y = = − [ ( )] 1 f x 因反函数的导数等于直接函数导数的倒数. y x x y = 1