定理2设‖lm是相容的矩阵范数,赙在向量 范数‖x‖,使 I Axam.x 证定义向量范数 lxl‖xa"‖m6≠a∈P",Vx∈Pn 1)a≠日xah1≠,V日≠x∈Pn xl= xall>0Ve≠x∈Pn
定理 2 设|| • ||m 是相容的矩阵范数，则存在向量 范数|| x ||，使|| Ax |||| A||m || x || 证 n n m H || x ||=|| xa || a P , x P 定义 向量范数 1) a H n xa , x P n m H || x ||=|| xa || 0 x P
2)‖A‖xxa0mn=|·l‖xa"lm =x|·‖x‖ 3)‖x+y|l‖(x+y)a"‖m=xa"+yn"|m s‖xlm+‖ya"‖, =‖xl+‖yl‖ 4)‖Ax|l4 camilla ll:‖xa‖m 叫Am·‖x‖l
m H 2) || x ||=|| xa || m H =| | || xa || =| | || x || m H 3) || x + y ||=|| (x + y)a || m H H =|| xa + ya || m H m H || xa || + || ya || =|| x || + || y || m H 4) || Ax ||=|| Axa || m H || A||m || xa || =|| A||m || x ||
例3取a=(1,0,…,0),x=(x1,x2,…,xn) 则 00 lxl=‖xa"lm2= 00.0 Cx2)12=‖ll2
例 3 (1, 0, , 0), ( , , , ) 取 a = x = x1 x2 xn 则 = = 0 0 0 0 0 0 || || || || 2 1 2 n m H x x x x xa 1/ 2 1 2 (| | ) = = n i xi 2 =|| x ||