1)A≠0P中存在x0≠0Ax0≠0 Axo lI>0,‖xola>0 A I Axo ll >0 0‖a 2)‖!Al l孔Axll ≠0 孔|·‖Axll x≠0
1) A 0 P x0 0 n 中存在 Ax0 0 || Ax0 ||a 0, || x0 ||a 0 0 || || || || || || 0 0 a a a x Ax A 0 2 a a x a || Ax || ) || A || max || x || = 0 a x a | | || Ax || max || x || =
元|·mx l Ax ll 引孔|-‖Ala ≠0 3)‖A+B‖lmax I (A+ B)x a ≤mv l4xl+‖Bcl ≠0 ≤nv I Ax I Bx ll ≠0 x≠0 叫All+‖B
0 a x a || Ax || | | max || x || = A a =| | || || A B a 3) || + || 0 a x a || ( A B )x || max || x || + = 0 a a x a || Ax || || Bx || max || x || + 0 0 a a x x a a || Ax || || Bx || max max || x || || x || + A a B a =|| || + || ||
推论1设‖xa是P"上的向量范数A、B∈Pn Al是从属于‖xll的算子范数,则它是榕的 矩阵范数,郾 AB aslla ll·l‖Bla 证 I AB=mac I ABrIl X≠0 ≤nv I Al. Bx l a 0
推论 1 || || , , n n n x a P A B P 设 是 上的向量范数 、 || A||a 是从属于|| x ||a 的算子范数，则它是相容 的 矩阵范数，即AB a A a B a || || || || || || 证 0 a a x a || ABx || || AB || max || x || = 0 a a x a || A || || Bx || max || x ||
叫lb·max Bx ll x0∥x=Ala·Ba 算子范数的特性: 1)它是所有与向量范数xa相容的矩阵范数咔 最小的 证 walla‖l·ax∈p→ I Ax llo nSAV0≠x∈Pn
0 a a x a || Bx || || A || max || x || = A a B a =|| || || || 算子范数的特性： 1) 它是所有与向量范数|| x ||a 相容的矩阵范数中 最小的. 证 n || Ax ||a || A|| || x ||a x P 0 a n a || Ax || || A || x P || x ||
I Al=max l Ax k sila ll x≠0 2)它的两种表达形式 I=max A l(max y ≠0‖|xl|l 3)它是自相容矩阵范数(推论1)
0 a a x a || Ax || || A || max || A || || x || = 2) 它的两种表达形式 0 a a x a || Ax || || A || max || x || = a 1 a ||u|| ( max || Au || ) = = 3) . 它是自相容矩 范 (推 1) 阵 数 论