旋转得到的曲面是y2+z2=si2x是非二次曲面。 作业 习题3.1：2(4)，4,6,9(3,6,9)，11(1,3)。 §2柱面和锥面 2.1柱面方程的建立 定义3.2一条直线1沿者一条空间曲线C平行移动时所形成的曲面成为柱面，1成为母线， C称为准线。 按定义，平面也是柱面。对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（除 去平面外)与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。 柱面的一般方程的建立 设一个柱面的母线方向为（亿，m),准线C的方程为 F(xy,)=0 下面我们根据 [G(x,y,=)=0' 点M(x,)在此柱面上的充分必要条件求这个柱面的方程 点M(x,y,)在此柱面上的充分必要条件是M在某一条母线上，即有准线C上一点 M,(x0,o,)使得M在过M,且方向为V的直线上。因此，有 F(xo,%,20)=0, G(x,5o)=0, x=Xo+lu, y=yo+mu, =5+, 消去0，0，得 「F(x-lu,y-,z-w)=0, G(x-l,y-m4,-m）=0, 再消去参数“，得到x,八，：的一个方程，就是所求柱面的方程。 例1：柱面的准线方程为 x2+y2+2=1, 2x2+2y2+2-2, 而母线的方向数为-1,0,1，求柱面的方程
11 旋转得到的曲面是 2 2 2 y z x + = sin 是非二次曲面。 作业 习题 3.1：2（4），4，6，9（3，6，9），11(1,3)。 §2 柱面和锥面 2.1 柱面方程的建立 定义 3.2 一条直线 l 沿着一条空间曲线 C 平行移动时所形成的曲面成为柱面，l 成为母线， C 称为准线。 按定义，平面也是柱面。对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一（除 去平面外）与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。 柱面的一般方程的建立 设一个柱面的母线方向为 ( , , ) l m n ，准线 C 的方程为 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z = = 。下面我们根据 点 M x y z ( , , ) 在此柱面上的充分必要条件求这个柱面的方程。 点 M x y z ( , , ) 在此柱面上的充分必要条件是 M 在某一条母线上，即有准线 C 上一点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 使得 M 在过 M0 且方向为 的直线上。因此，有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0, ( , , ) 0, , + , , F x y z G x y z x x lu y y mu z z nu = = = + = = + 消去 0 0 0 x y z , , ，得 ( , , ) 0, ( , , ) 0, F x lu y mu z nu G x lu y mu z nu − − − = − − − = 再消去参数 u ，得到 x y z , , 的一个方程，就是所求柱面的方程。 例 1：柱面的准线方程为 2 2 2 2 2 2 1, 2 2 2, x y z x y z + + = + + = 而母线的方向数为 −1,0,1 ，求柱面的方程
解：设M(:,片，)是准线上的任意点，所以过M的母线方程为 x-y-y-3 -1 0 且有 [x2++2=1, 2x2+22+2=2. 再设 则 X1=x+1,以=y,51=-1 将(2)代入(1)中得 x+02+y2+(e-1)2=1, 2x+0}2+2y2+(2-)2-2, 解(3)得 1=z, 将(4)代入(3)中得所求柱面为(x+z+y2=1。 柱面的参数方程的建立 如果柱面的准线C的坐标式参数方程为 [x=f), y=g0, a≤1≤b 2=ht). 同理可得柱面的坐标式参数方程为 [x=f(t)+lu, y=g(0)+m, as1≤b,ueR. (3.9) =h(t)+u. 还可得柱面的向量式参数方程为r(，=p()+,a≤1≤b,u∈R,其中 pt)=(ft0,g(t),h(t),v=(亿，m,n). 注：柱面有一次柱面、二次柱面、高次柱面和其他柱面。如A红+By+C:+D=0是
12 解：设 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 是准线上的任意点，所以过 M1 的母线方程为 1 1 1 1 0 1 x x y y z z − − − = = − ， 且有 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1, 2 2 2. x y z x y z + + = + + = （1） 再设 1 1 1 , 1 0 1 x x y y z z t − − − = = = − 则 1 1 1 x x t y y z z t = + = = − , , ， （2） 将（2）代入（1）中得 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1, 2( ) 2 ( ) 2, x t y z t x t y z t + + + − = + + + − = （3） 解（3）得 t z = ， （4） 将（4）代入（3）中得所求柱面为 2 2 ( ) 1 x z y + + = 。 柱面的参数方程的建立 如果柱面的准线 C 的坐标式参数方程为 ( ), ( ), ( ), x f t y g t a t b z h t = = = 。 同理可得柱面的坐标式参数方程为 ( ) , ( ) , , ( ) , x f t lu y g t mu a t b u R z h t nu = + = + = + 。 （3.9） 还可得柱面的向量式参数方程为 r t u t uv a t b u R ( , ) ( ) , , = + ，其中 ( ) ( ( ), ( ), ( )), ( , , ) t f t g t h t v l m n = = 。 注：柱面有一次柱面、二次柱面、高次柱面和其他柱面。如 Ax By Cz D + + + = 0 是
一次柱面，x2=a产是二次柱面，y=x”是n次柱面，y=sinx是正弦柱面。后3种柱面 都是母线平行于：轴的柱面。 2.2圆柱面，点的柱面坐标 现在来看圆柱面的方程。圆柱面有一条对称轴1，圆柱面上每一个点到轴I的距离都相 等，这个距离称为圆柱面的半径。圆柱面的准线可取成一个圆C,它的母线方向与准线圆 垂直。 如果知道准线圆的方程和母线方向，则可用21中所述方法求出圆柱面的方程。 如果知道圆柱面的半径为r,母线方向为(，m,),以及圆柱面的对称轴。经过点 M(,o,0),则点M(x,八，)在此圆柱面上的充分必要条件是M到轴。的距离等于r, 即X=,由此出发可求得圆柱面的方程。 特别地，若圆柱面的半径为，对称轴为：轴，则这个圆柱面的方程为 x2+y2=r2, (3.10) ,点PL,-2,)在此圆柱面上，求圆柱面方程。 -2 解：法一同例1 法二：因为轴的方向向量为1，-2，-2)，轴上的定点为M,(0,1,-1),而圆柱面上的点为 M,(1,-2,1),所以MM,-3,2),因此点M,L,-2,)到轴的距离为 V2+(-2y2+(-2)2 3 再设M(x,y,)为圆柱面上的任意点，则有 M,Mx ,化简整理得所求圆柱面方程为 3 8x2+5y2+5z2+4xy+4x-8z-18y+19z-99=0. 空间中任意一点M(x,)必在以r=√2+y严为半径，以：轴为对称轴的圆柱面上
13 一次柱面， 2 2 x a = 是二次柱面， n y x = 是 n 次柱面， y x = sin 是正弦柱面。后 3 种柱面 都是母线平行于 z 轴的柱面。 2.2 圆柱面，点的柱面坐标 现在来看圆柱面的方程。圆柱面有一条对称轴 l ，圆柱面上每一个点到轴 l 的距离都相 等，这个距离称为圆柱面的半径。圆柱面的准线可取成一个圆 C ，它的母线方向与准线圆 垂直。 如果知道准线圆的方程和母线方向，则可用 2.1 中所述方法求出圆柱面的方程。 如果知道圆柱面的半径为 r ，母线方向为 ( , , ) l m n ，以及圆柱面的对称轴 0 l 经过点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) ，则点 M x y z ( , , ) 在此圆柱面上的充分必要条件是 M 到轴 0 l 的距离等于 r ， 即 MM v 0 r v = ，由此出发可求得圆柱面的方程。 特别地，若圆柱面的半径为 r ，对称轴为 z 轴，则这个圆柱面的方程为 2 2 2 x y r + = , （3.10） 例 2：已知圆柱面的轴为 1 1 1 2 2 x y z − + = = − − ，点 P(1, 2,1) − 在此圆柱面上，求圆柱面方程。 解：法一同例 1. 法二：因为轴的方向向量为 v(1, 2, 2) − − ，轴上的定点为 0 M (0,1, 1) − ，而圆柱面上的点为 1 M (1, 2,1) − ，所以 0 1 M M (1, 3,2) − ，因此点 1 M (1, 2,1) − 到轴的距离为 2 2 2 0 1 222 3 2 2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 117 1 ( 2) ( 2) 3 M M v d v − − + + − − − − − = = = + − + − ， 再设 M x y z ( , , ) 为圆柱面上的任意点，则有 0 117 3 M M v v = ，化简整理得所求圆柱面方程为 2 2 2 8 5 5 4 4 8 18 19 99 0 x y z xy xz yz y z + + + + − − + − = 。 空间中任意一点 M x y z ( , , ) 必在以 2 2 r x y = + 为半径，以 z 轴为对称轴的圆柱面上
显然这个圆柱面的参数方程为 x=rcos. y=rsine, 0≤0<2π，-0<u<+0 因此，圆柱面上的点M被数偶(O,)所确定。从而空间中任一点M被有序三元实数组 (，0，)所确定。(,0,)称为点M的柱面坐标。点M的柱面坐标与它的直角坐标的关 系是 [x=rcos0, y=rsine, r20;0≤<2π；ueR。 (3.11) 2=4, 在(3.11)中，若r=a>0的常数，0，u是任意实数，则(3.11)等价于x2+y2=a2,u是 任意实数表示以：轴为对称轴，以α为半径的圆柱面，(3.11)是该圆柱面的直角坐标的参 数方程，r=a>0的常数，0，u是任意实数是圆柱面的柱面坐标方程：若0=A∈0,2π) 的常数，r,u是任意实数，则(3.11)等价于直角坐标方程sin0x-ycos0,=0,表示经 过：轴的半平面，(3.11)是该半平面的参数方程，0=A∈[0，π/2)的常数，r,u是任意 实数是该半平面的柱面坐标方程：若=4∈R的常数，r,0是任意实数，则(3.11)等价 于直角坐标方程：=4，x,y是任意实数，表示平面，(3.11)是该平面的直角坐标的参数方 程，而方程：=山，∈R的常数，O是任意实数是该平面的柱面坐标方程。 在3.1)中，若=a>0 [x=acos0. 0e0,2π)白y=asin8,8∈0,2π) =6 =4, ,表示平面：=私上以点(0,0,4)为对称圆心，以a为半径的圆：若 z=4 x=ac0sd。, 0=80,2):是任意实数，则.1)ey=asin.0∈0,2r)台 r=a>0 x=acos0 y=asin e=4, 台x-acos0=y-asin- 0 0 =片，表示经过(acos8,asin80)点以00,1)为方向向量
14 显然这个圆柱面的参数方程为 cos , sin , 0 2 , . , x r y r u z u = = − + = 因此，圆柱面上的点 M 被数偶 (,u ) 所确定。从而空间中任一点 M 被有序三元实数组 (r u , , ) 所确定。 (r u , , ) 称为点 M 的柱面坐标。点 M 的柱面坐标与它的直角坐标的关 系是： cos , sin , 0; 0 2 ; , x r y r r u R z u = = = 。 （3.11） 在（3.11）中，若 r a = 0 的常数， ,u 是任意实数，则（3.11）等价于 2 2 2 x y a u + = , 是 任意实数表示以 z 轴为对称轴，以 a 为半径的圆柱面，（3.11）是该圆柱面的直角坐标的参 数方程， r a = 0 的常数， ,u 是任意实数是圆柱面的柱面坐标方程；若 0 = [0,2 ) 的常数， r u, 是任意实数，则（3.11）等价于直角坐标方程 0 0 sin cos 0 x y − = ，表示经 过 z 轴的半平面，（3.11）是该半平面的参数方程， 0 = [0, 2) 的常数， r u, 是任意 实数是该半平面的柱面坐标方程；若 0 z u R = 的常数， r, 是任意实数，则（3.11）等价 于直角坐标方程 0 z u x y = , , 是任意实数，表示平面，（3.11）是该平面的直角坐标的参数方 程，而方程 0 z u R = 的常数， r, 是任意实数是该平面的柱面坐标方程。 在（3.11）中，若 0 r a 0 z u = = ， [0,2 ) 0 cos , sin , [0,2 ) , x a y a z u = = = 2 2 2 0 x y a z u + = = ，表示平面 0 z u = 上以点 0 (0,0, ) u 为对称圆心，以 a 为半径的圆；若 0 0 [0,2 ) r a = = ，z 是任意实数，则（3.11） 0 0 cos , sin , [0,2 ) , x a y a z u = = = 0 0 cos sin x a y a = = 0 0 cos sin 0 0 1 x a y a − − z = = ，表示经过 0 0 ( cos , sin ,0) a a 点以 (0,0,1) 为方向向量