+r+2-2x+y*:-. 例4求)抽绕直线L子一宁一的旋转面方促，为新它是什么自面？ 杯法1得践)推的一校方程为任二0线L音-片-上的定取以@Q0, [x=0 方前的防.由器e-0商3得 x2+y2+2=x+y片+ x2+y2+2=(-x+y+}台y+x知-z=0 它是二次曲面中的圆维面。 x=0 法2。母线y轴的参数方程为y=V,V∈R,轴线上的定点取M(0,0,0),方向向量 2=0 为c8仁0产生我面有酒 y+x-z=0, 它是二次曲面中的圆锥面。 三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程 现在设M(x,片，)旋转轴为：轴，母线「在O:平面上，其方程为： f(xy)=0, x=0、 则点M(x,八，)在旋转面上的充分必要条件是： f(o)=0, =0 x2+y2=x02+2, 1(e-0）=0. 消去参数，%，。，得∫±√+y,=0。这就是所求旋转面的方程。 由此看出，为了得到O上平面上的曲线「绕：轴旋转所得的旋转面方程，只要将母线 『在O:平面上的方程中y改成士Vx2+y2,:不动。坐标平面上的曲线绕坐标轴所得旋 转面方程都有类似的规律。 6
6 2 2 2 2 9 ( 1) 5 x y z x y z + + = + + − 。 例 4 求 y 轴绕直线 : 1 1 1 x y z L = = − 的旋转面方程，判断它是什么曲面？ 解：法 1。母线 y 轴的一般方程为 0 0 x z = = ，轴线 : 1 1 1 x y z L = = − 上的定点取 0 M (0,0,0) ， 方向向量为 v( 1,1,1) − 。由题意得 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 x z x x y y z z x y z x y z = = − − + − + − = + + = + + ，消去 1 1 1 x y z , , 得 2 2 2 2 x y z x y z xy xz yz + + = − + + + − = ( ) 0， 它是二次曲面中的圆锥面。 法 2。母线 y 轴的参数方程为 0 , 0 x y v v R z = = = ，轴线上的定点取 0 M (0,0,0) ，方向向量 为 v( 1,1,1) − 。由题意得纬圆族 2 2 2 2 2 2 2 ( 0) ( ) ( 0) 0 0 0 x y v z x y z v v − − + − + − = + + = + + = 产生旋转曲面，消去 v 得 xy xz yz + − = 0， 它是二次曲面中的圆锥面。 三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程 现在设 ( , , ) 1 1 1 M x y z 旋转轴为 z 轴，母线 在 yOz 平面上，其方程为： ( , 0, ) 0, f x y x = = 则点 M(x, y,z) 在旋转面上的充分必要条件是： ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 , 0, 0, , 1 0. f y z x x y x y z z = = + = + − = 消去参数 0 0 0 x y z , , ，得 ( ) 2 2 f x y z + = , 0 。这就是所求旋转面的方程。 由此看出，为了得到 yOz 平面上的曲线 绕 z 轴旋转所得的旋转面方程，只要将母线 在 yOz 平面上的方程中 y 改成 2 2 x + y ，z 不动。坐标平面上的曲线绕坐标轴所得旋 转面方程都有类似的规律
[x=f(v), 若母线r的参数方程为y=8,vea,、则r绕：轴旋转所得的旋转面参数方程 [==h(v), x=√f(w)+g(w)cosu y=Vf(w)+g(v)sinu,u∈0,2πvea,b (3.9) :=hv, 证明在母线上任取一点Mo(f(,),g(,),h(,),过M。的纬圆所在平面：=h,)与 :轴交于M0,0,M》,所以过M。的纬圆半径为r=MM=√广()+g(),从而 x=V产(o)+g)cosu y=Vf()+g2o)sinuu∈0,2π，ve[a,b 过M,的纬圆参数方程为 ,当M,在纬 ==h(va) 圆上运动时可得(3.9)。 当母线厂为o:面上的曲线时，「绕：轴旋转所得的旋转面参数方程 x=g(v)cosu y=g(v)sinu,ue[0,2π)，v∈[a,b] (3.10) =h(V). 四、应用举例 例5每线Γ少=2P严绕：轴旋转所得院转面方程为广+y广=2匹，这个曲面称 x=0 为旋转抛物面（如图3.4）。 丝学人己店绕x挡旋按所得曲面方程为名-广十1这 2=0 62 为成片双时风面国3「货)推炎销新得自面方程为产兰-茶=1，这个 称为旋转单叶双曲面（如图3.5）。 例7-a+子=户，0<<a,绕：轴旋所得面为 y=0, F+y-a+2=r2
7 若母线 的参数方程为 ( ), ( ), [ , ], ( ), x f v y g v v a b z h v = = = 则 绕 z 轴旋转所得的旋转面参数方程 2 2 2 2 ( ) ( ) cos [0, 2 ), [ , ] ( ) ( ) sin , ( ), x f v g v u u v a b y f v g v u z h v = + = + = 。 （3.9） 证明 在母线上任取一点 0 0 0 0 M f v g v h v ( ( ), ( ), ( )) ，过 M0 的纬圆所在平面 0 z h v = ( ) 与 z 轴交于 0 M h v (0,0, ( )) ，所以过 M0 的纬圆半径为 2 2 0 0 0 r MM f v g v = = + ( ) ( ) ，从而 过 M0 的纬圆参数方程为 2 2 0 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) cos [0, 2 ), [ , ] ( ) ( ) sin ( ) x f v g v u u v a b y f v g v u z h v = + = + = ，当 M0 在纬 圆上运动时可得（3.9）。 当母线 为 yoz 面上的曲线时， 绕 z 轴旋转所得的旋转面参数方程 ( )cos ( )sin , [0,2 ), [ , ]. ( ), x g v u y g v u u v a b z h v = = = （3.10） 四、应用举例 例 5 母线 2 2 0 y pz x = = 绕 z 轴旋转所得旋转面方程为 x y 2pz 2 2 + = ，这个曲面称 为旋转抛物面（如图 3.4）。 例 6 母线 2 2 2 2 1 0 x y a b z − = = 绕 x 轴旋转所得曲面方程为 1 2 2 2 2 2 = + − b y z a x 。这个曲面称 为旋转双叶双曲面（如图 3.4）。 绕 y 轴旋转所得曲面方程为 2 2 2 2 2 1 x z y a b + − = ，这个曲面 称为旋转单叶双曲面（如图 3.5）。 例 7 圆 ( ) 2 2 2 , 0 0, x a z r r a y − + = = ，绕 z 轴旋所得曲面为 ( ) 2 2 2 2 2 x + y − a + z = r
(x2+y2+22+a2-r2）=4a2(x2+y2） 这个曲面称为环面（如图3.6）。 (x=a, 例8已知直线L的参数方程为=mv∈R 求直线L绕：轴旋所得曲面的方程， ==-bv, 它是什么曲面？ x=va+a'v2 cosu 解：法1.由(8.9)得旋转曲面的参数方程为=从. y=Va+av sinu,ue[0.27)vER 清去参数用号+号一后1，表示奖转华叶风甜面。 法2。由注1得，纬圆族+加=0 r+y+:2=a)+(am+←bm,消去p,得 法3。直母线L的一般方程为 x-a=0 ,+正=0'由题意得纬圆族方程为 x-a=0 y+a,=0 2-9=0 x2+y2+2=x++ 清去，得名=a=一，=，代入到方程+少+：=矿++得到 二+号-京=1，表示旋特单叶双自面。 例9设（和2是两条异面直线，它们不垂直，求1，绕！旋转所得曲面的方程。 解设l,和2的距离为a,以和，的公垂线为x轴，且命名与x轴的交点(a,0,0), 建立一个右手直角坐标系。设山2的方向向量为化，m,),因为l,与x轴垂直，所以下1=0
8 即 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z a r a x y + + + − = + 4 ， 这个曲面称为环面（如图 3.6）。 例 8 已知直线 L 的参数方程为 , , , x a y av v R z bv = = = − ，求直线 L 绕 z 轴旋所得曲面的方程， 它是什么曲面？ 解：法 1。由（3.9）得旋转曲面的参数方程为 2 2 2 2 2 2 cos [0, 2 ), sin , ( ), x a a v u u v R y a a v u z h v = + = + = ， 消去参数 u v, 得 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a b + − = ，表示旋转单叶双曲面。 法 2。 由注 1 得，纬圆族 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) z bv x y z a v av bv + = + + = + + − ，消去 v ，得 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a b + − = ，表示旋转单叶双曲面。 法 3。 直母线 L 的一般方程为 0 0 x a by az − = + = ，由题意得纬圆族方程为 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x a by az z z x y z x y z − = + = − = + + = + + ， 消去 1 1 1 x y z , , 得 1 1 1 , , a x a y z z z b = = − = ，代入到方程 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + = + + 得到 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a b + − = ，表示旋转单叶双曲面。 例 9 设 1 2 l 和l 是两条异面直线，它们不垂直，求 2 l 绕 1 l 旋转所得曲面的方程。 解 设 1 l 和 2 l 的距离为 a，以 1 l 和 2 l 的公垂线为 x 轴，且命名 2 l 与 x 轴的交点 (a,0,0)， 建立一个右手直角坐标系。设 2 l 的方向向量为 v(l,m,n), 因为 2 l 与 x 轴垂直，所以 v e1 = 0
得1=0。因为l,与异面，所以v不平行于，于是m≠0。因此可设v的坐标为(0,1b) 因为1与l,不垂直，所以v3≠0，于是b≠0。因此，的参数方程为 [x=a, y=t, -0<t<+n. =bl 点M在旋转面上的充分必要条件是 =a, yo=1, z=b1. x2+y2=x02+02, 1(e-o)=0 云+不=，这是旋转单叶双曲面。 消去参数x。,o,o,得x之+少=+京·即+ 例3.6求以r为半径，以h为高的圆维面的一般方程或参数方程。 解法1。取圆锥的顶点为坐标原点，以底面圆心和顶点所在的直线为：轴建立空间直 2-4 角坐标系，则底面与o坐标面的一个交点为A0,)。线段OA: ,(0≤y≤r) x=0 绕：箱的旋转南面统是所求的圆雕面，它的一般方程为S:一上F+少，定义设为 D={x2+y2≤r2}. 法2.任取MeO4,则 ,过M,的纬圆为三0 x=0 x2+y2+2=x++2 消去，一得它的一般方程为S:=么+了. 法3。线段OA的参数方程为OA:p(v)=(0,m,m),0≤v≤1。它绕：轴旋转所得旋转 曲面的参数方程为S:p(u,)=(cos4,sin,m),0≤42π，0svs1。 法4.线段OA的参数方程的坐标形式为OA:x=0,y=m,:=m,0≤v≤1.曲线族（纬 9
9 得 l = 0 。因为 2 1 l 与l 异面，所以 v 不平行于 e3 ，于是 m 0 。因此可设 v 的坐标为 (0,1,b)。 因为 1 l 与 2 l 不垂直，所以 ve3 0, 于是 b 0 。因此， 2 l 的参数方程为 , , . , x a y t t z bt = = − + = 点 M 在旋转面上的充分必要条件是 ( ) 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 , , , , 1 0. x a y t z bt x y x y z z = = = + = + − = 消去参数 x , y ,z ,t 0 0 0 得 2 2 2 2 2 z x y a b + = + ，即 1 2 2 2 2 2 2 2 + − = a b z a y a x ，这是旋转单叶双曲面。 例 3.6 求以 r 为半径，以 h 为高的圆锥面的一般方程或参数方程。 解 法 1。取圆锥的顶点为坐标原点，以底面圆心和顶点所在的直线为 z 轴建立空间直 角坐标系，则底面与 yoz 坐标面的一个交点为 A r h (0, , ) 。线段 : ,(0 ) 0 h z y OA y r r x = = ， 绕 z 轴的旋转曲面就是所求的圆锥面，它的一般方程为 2 2 : h S z x y r = + ，定义域为 2 2 2 D x y r = + { }。 法 2。任取 M OA 1 ，则 1 1 1 0 h z y r x = = ，过 M1 的纬圆为 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z z 0 x y z x y z − = + + = + + ， 消去 1 1 1 x y z , , 得它的一般方程为 2 2 : h S z x y r = + 。 法 3。线段 OA 的参数方程为 OA v rv hv v : ( ) (0, , ),0 1 = 。它绕 z 轴旋转所得旋转 曲面的参数方程为 S u v rv u rv u hv u v : ( , ) ( cos , sin , ),0 2 ,0 1 = 。 法 4。线段 OA 的参数方程的坐标形式为 OA x y rv z hv v : 0, , ,0 1 = = = 。曲线族（纬
圆族)-加=00≤r≤1 x2+y2+2=02+(R2+(hm 产生旋转曲面，消去参数v得S:=F+少 法5。以圆C:x2+y2=r2,:=h为准线，顶点在原点的锥面就是所求的锥面。任取 4(,h)eC,则+=r 。又过M,得直母线方程为OM:X=上=三，则过 3=h X1另1 x+=r2 原点的直母线族由：=h构成，它产生旋转曲面，消去参数x,片，二得圆维面的 x 般方程S:=么F+乎. 法6。因圆锥面的准线方程为C:x2+y2=2,:=h为，顶点在原点，所以曲线族 (x)2+0)2=r ,1≥1产生曲面，清去参数1得圆锥面的一般方程S:=”√2+y。 t=h 法7。因圆锥面的准线圆C的参数方程为C:p()=(rcos私，rsinu,hM),0≤u≤2π。又 顶点在原点，所以圆锥面的参数方程为 S:r(u,v)=(cosu,vsinu,hm),0≤u≤2π，0≤v≤1。 法8。因圆维面可以看做是直母线与：轴成定角的动直线的轨迹，设半顶角为α得 tana-cosa=cos<M> OMes h P+r+P+F 化简得圆面的一般方程S:=+了。 注2旋转曲面有一次旋转曲面、二次旋转曲面、高次旋转曲面和其他旋转曲面。如直线 y=4,=0绕y抽旋转得到的曲面是少=a平面，是一次曲面。曲面+上- aa ab=1. 若+长-1后-卡广=2孤是=次面国环面是4次面，=m:=0绕x销
10 圆族） 2 2 2 2 2 2 0,0 1 0 ( ) ( ) z hv v x y z Rv hv − = + + = + + 产生旋转曲面，消去参数 v 得 2 2 : h S z x y r = + 。 法 5。以圆 2 2 2 C x y r z h : , + = = 为准线，顶点在原点的锥面就是所求的锥面。任取 1 1 1 1 M x y z C ( , , ) ，则 2 2 2 1 1 1 x y r z h + = = 。又过 M1 得直母线方程为 1 1 1 1 : x y z OM x y z = = ，则过 原点的直母线族由 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y r z h x y z x y z + = = = = 构成，它产生旋转曲面，消去参数 1 1 1 x y z , , 得圆锥面的一 般方程 2 2 : h S z x y r = + 。 法 6。因圆锥面的准线方程为 2 2 2 C x y r z h : , + = = 为，顶点在原点，所以曲线族 2 2 2 ( ) ( ) , 1 xt yt r t zt h + = = 产生曲面，消去参数 t 得圆锥面的一般方程 2 2 : h S z x y r = + 。 法 7。因圆锥面的准线圆 C 的参数方程为 C u r u r u h u : ( ) ( cos , sin , ),0 2 = 。又 顶点在原点，所以圆锥面的参数方程为 S r u v rv u rv u hv u v : ( , ) ( cos , sin , ),0 2 ,0 1 = 。 法 8。因圆锥面可以看做是直母线与 z 轴成定角的动直线的轨迹，设半顶角为 得 2 2 tan , cos r h h r h = = + 。若任意点 M x y z ( , , ) 在圆锥面上，则 3 3 2 2 2 2 2 tan , cos cos , r h OM e z OM e h OM x y z r h = = = = = + + + ， 化简得圆锥面的一般方程 2 2 : h S z x y r = + 。 注 2 旋转曲面有一次旋转曲面、二次旋转曲面、高次旋转曲面和其他旋转曲面。如直线 y a x = = , 0 绕 y 轴旋转得到的曲面是 y a = 平面，是一次曲面。曲面 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a a b + − = ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 1, 2 x y x y y px a b a b + = − = = 是二次曲面，圆环面是 4 次曲面， y x z = = sin , 0 绕 x 轴