例设f(x）在x=0处可导，证明:F(x)=(e*+sin2xDf(x)在x=0处可导的充要条件是f(0)=0。F(x)-F(O)(e*+|sin2x Df(x)- f(O)解xx(e*+[sin2x D(f(x)- f(O) (e* -1+ I sin2x Df(0)xx注意，根据极限运算法则易证明：若s(x）在x=x。有极限，g(x)在x=X无极限，则f(x)+g(x)在x=x。无极限
例 设 在 处可导，证明： 在 处可导的充要条件是 。 解 注意，根据极限运算法则易证明：若 在 有极限， ； 在 无极限，则 在 无极限
（4）导函数的定义：设函数y=f(x）在开区间I中点点可导，那么可以定义函数f:x→f'(x) o函数y=f(x）称为f(x）在区间I中的导函数。dfdy其它导函数的记号：y(x)dx' dx
（4）导函数的定义： 设函数 在开区间 中点点可导，那么可以定义函数 ： 。 函数 称为 在区间 中的导函数。 其它导函数的记号： ， ，
根据定义，导函数是函数f（x）在任意取定的点x处的导数，所以f(x +△r)- f(x)f'(x)= lim △rAr→0注：上述极限过程中，变动的量是△x：而x则是取定的，也即看作常数
。 注：上述极限过程中，变动的量是 ， 根据定义，导函数是函数 在任意取定的点 处的导数，所以 而 则是取定的，也即看作常数
例求正弦函数、余弦函数、指数函数和对数函数以及y=lnx的导函数。In /x + Ar |-In /xY解lim(lIn / x D'= limArAr->0Ar-0AxX1Ar1=limAr-0Arxx
解 例 求正弦函数、余弦函数、指数函数和对数函数以及 的导函数。