《经济数学》课程PPT教学课件（微积分）第八章 多元函数微分法及其应用 8-5 隐函数的求导公式

2. F(x,y,z) = 0隐函数存在定理2设函数F(x,,z)在点P(xoyo,z)的某一邻域内有连续的偏导数，且F(xo,yo,zo)=0, F,(xo,yo,zo)± 0, 则方程F(x,y,z)=0在点P(xo,Jo,z)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z= f(x,y)，它满足条件zo= f(xo,yo),Faz.Faz.X并有axFayF7经济数学微积分

隐函数存在定理 2 设函数F(x, y,z)在点 ( , P x0 , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , F x0 y0 ,z0 ) = 0，Fz (x0 , y0 ,z0 )  0，则方程F(x, y, z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x, y)，它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ， 并有 z x F F x z = −   ， z y F F y z = −   . 2. F(x, y,z) = 0

a?z求例3设x2+2+z2-4z=0,ax?解 令 F(x,y,z)=x2+2+z2-4z,FOzx则 F,=2x,F, =2z-4,XaxF2- zNOz.x(2 -z) + x(2 -z)+ xa?z2- zaxax?(2 - z)2(2 - z)2(2 - z) + x2(2 - z)3电经济数学微积分

例 3 设 4 0 2 2 2 x + y + z − z = ，求 2 2 x z   . 解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z F 2x, x = F = 2z − 4, z , 2 z x F F x z z x − = − =   2 2 x z   2 (2 ) (2 ) z x z z x −   − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − +  = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + =

Ozaxdy例4 设z=f(x++z，xyz)，求azaxayOz.思路：把z看成x,y的函数对x 求偏导数得axax把x看成z,的函数对y求偏导数得ayQy把y看成x,z的函数对 求偏导数得Oz解 令 u=x+y+z， v=xyz,则 z= f(u,v),经济数学微积分

例 4 设z = f ( x + y + z, xyz)，求 x z   ， y x   ， z y   . 思路： 把z看成x, y 的函数对x 求偏导数得 x z   ， 把x看成z, y的函数对y 求偏导数得 y x   ， 把y看成x,z的函数对z 求偏导数得 z y   . 解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v)