()若函数g在a,b1上单调增，且g(x)≥0，则存 在n∈a,b1使。f(xg(xdx=gbfe)de. 证这里只证（①，类似可证(）.证明分以下五步： (I)对任意分割T:M=x<x1<·<xn=b, I"f(x)g(x)dx-f(x)g(x)dx fx)川g(x)-g(x)ldx 1 +∑8小fedr=l+l (2)因|f(x)川≤L,xa,b],故 前顶
前页 后页 返回 (ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 g(x) 0, 则存 在 使 [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d . b b a f x g x x g b f x x = 证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步: (1) 对任意分割 T： , a = x0 x1 xn = b ( ) ( )d b a I f x g x x = 1 1 ( ) ( )d i i n x x i f x g x x − = = 1 1 1 ( ) [ ( ) ( ) ]d i i n x i x i f x g x g x x − − = = − . 1 2 = I + I 1 1 1 ( ) ( )d i i n x i x i g x f x x − − = + (2) | ( ) | , [ , ], 因 f x L x a b 故
14l2f91g)-gx小dx ≤∑|fxlg()-g(c1dx≤L∑oAx 因g可积，故3T:a=x<x<.<xn=b,使 4x<8→14sc =1 3)设F(:)=∫f)t,则 L2=∑g(cIFx)-FxI =g(x)儿Fx)-F(o)】+ +g()F(x)-F(x) 前 返回
前页 后页 返回 1 1 1 1 | | ( ) [ ( ) ( )]d i i n x i x i I f x g x g x x − − = = − 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | d i i n x i x i f x g x g x x − − = − 1 Δ . n g i i i L x = 0 1 , : , n 因 可积 故 使 g T a x x x b = = 1 Δ n g i i i x L = 1 | | . I 2 1 1 1 ( )[ ( ) ( )] n i i i i I g x F x F x − − = = − 0 1 0 = − + g x F x F x ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] + g xn−1 F xn − F xn−1 (3) ( ) ( )d , x a 设 F x f t t = 则
=F(x)儿g(x)-g(x1川+ +F(x)g(x2)-g(x1)1+F(x)g(x1) 2FsIg)-g1+Fbg（(x. 由对g的假设，gcw1)≥0，g(x)-gc)≥0.记 m=min F(x)),M=max F(x)), xE(a,b) x∈(a,b) n-1 则I2≤M∑g(c,)-g(x)】+Mg(xm)=Mg(a), i-1 n-1 I2≥m∑Ig(x)-g(x,川+mg(xm1)=mg(@, i=1 前页 返回
前页 后页 返回 1 1 , ( ) 0, ( ) ( ) 0. n i i 由对 的假设 记 g g x g x g x − − − 1 0 1 = − + F x g x g x ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ). 1 1 1 1 − = = − − + − n i F xi g xi g xi F b g xn ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) + F xn−1 g xn−2 − g xn−1 + F xn g xn−1 ( , ) min { ( ) }, x a b m F x = ( , ) max { ( ) }, x a b M F x = 1 2 1 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ), n i i n i 则 I M g x g x Mg x Mg a − − − = − + = 1 2 1 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ), n i i n i I m g x g x mg x mg a − − − = − + =
于是g(a≤I2≤Mg(a): (4)综合(2)，3)，得到 mg(a)-&≤I1+L2≤Mg(a)+&. 令&→0，便得mg(@)≤I≤Mg(a). (⑤)若g(@)=0,则1=fx)gx)dr=0,此时任取 专ea,满足∫fx)g(x)r=g(o∫fx)dc. 若a>d则m≤间.面F/ 前 返回
前页 后页 返回 (4) 综合 (2), (3), 得到 1 2 mg a I I Mg a ( ) ( ) . − + + 令 便得 → 0, ( ) ( ). mg a I Mg a (5) ( ) 0, ( ) ( )d 0, b a 若 则 此时任取 g a I f x g x x = = = [ , ], a b 满足 ( ) ( )d ( ) ( )d . b a a f x g x x g a f x x = ( ) ( ). 于 是 mg a I2 Mg a 若 则 g a( ) 0, . ( ) M g a I m ( ) ( )d x a 由 F x f t t =
的连续性，存在5∈a,b小，使 R哈maro 即 ∫fe)gx)dr=g(aJf(w)dc. 推论设f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[，b]上单调， 则存在5ea,b1,使 "f(x)g(x)dx-g(af(x)dx+gb)f(x)dx. 前页 返回
前页 后页 返回 ( ) ( )d , ( ) a I F f t t g a = = 则存在 使 [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d ( ) ( )d . b b a a f x g x x g a f x x g b f x x = + 推论 设 在 上可积, 在 上单调, f x a b g x a b ( ) [ , ] ( ) [ , ] 的连续性 ,存在 [a, b], 使 ( ) ( )d ( ) ( )d . b a a f x g x x g a f x x = 即