第三章数学分析s4两个重要的极限函数极限sinx一,lim在本节，我们x-0x将讨论两个重要的二、lim极限.-00*点击以上标题可直接前往对应内容
ዠת੮Ⴄಏ ݨᇴࢴਿ ৡᄎ hДЗ୍ङߢஒ ރ؆ӣߤআІॾ ӡߢރஒ 0 sin lim 1 x x o x ህȢ Ȣࠀ 1 lim 1 e x xof x § · ¨ ¸ © ¹ ؟ӃڀتکӸܯࣻஙՔߗ䎯ӟјІ
s4两个重要的极限第七讲两个重要的函数极限数学分析第三章函数极限高等教育出版社
ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hӠ߃ݤୡڽࠃ xમиfࣩݿӠ߃ݤୡ xમиx0 ࣩݿӠ߃ݤୡ ԤҊ߃ୡ আЄઔ ДЗ୍ङӡߢރஒ hГЖଜੌ߃ࣩୡ
sinxlim=154两个重要的极限X-0sinx命题1lim1xx-→0元证 因为sinx<x<tanx所以2 1x(1)1<sinxcosx不等式中的三个表达式均是偶函数，故当0<|x<时，(1)式仍成立,21x所以 lim因为 lim 1=lim:1.x-0 sin xx-→0x-0 cosxsinx即 lim:1.xx-→0数学分析第三章函数极限高等教育出版社
ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨ ¸ © ¹ . (1) cos 1 sin 1 x x x ϡㄝᓣЁⱘϝϾ㸼䖒ᓣഛᰃߑي᭄, 䆕 π sin tan 0 , 2 xx x x § · ¨ ¸ © ¹ Ў ᠔ҹ ੑ乬 π 0|| 2 x ᯊ 0 sin lim 1 x x o x 0 sin lim 1 x x o x ᬙᔧ 0 sin lim 1 x x o x 0 0 1 lim1=lim 1 x x o o cos x Ў ˈ 0 lim 1 x sin x o x ᠔ҹ 0 sin lim 1. x x o x े 1 ᓣҡ៤ゟ
sinxlim=1S4两个重要的极限iXX→0sinx例1 求limX→元×一元解 令 t=x-元， 则sinx=sin(t+元)=-sint,所以sinxsintlimlimtt→0X-→元×一元数学分析第三章函数极限高等教育出版社
ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨ ¸ © ¹ π sin lim x π x o x 㾷 Ҹ t x π, ᠔ҹ ՟1 ∖ π sin lim . x π x o x 0 sin lim 1 x x o x ߭sin sin xt t π sin , 0 sin lim 1. t t o t
sinxJim-154两个重要的极限limXx→0arctanx例2 求 limxx-0解令t=arctanx, x=tant, 则ttarctanxlimlimlimcost = 1.limx→0t-→>0t→0t-→0sintxtant1-cosx例3 求 limx-0.2xX2sinsin11-cosx22解 limlimlim3x22x-→0x-→0x-→02数学分析 第三章函数极限高等教育出版社
ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hГЖଜੌ߃ࣩୡ 0 sin lim 1 x x o x 1 lim 1 e x xof x § · ¨ ¸ © ¹ ՟2 . arctan lim 0 x x xo ∖ x x x arctan lim o0 㾷 Ҹ t xx t arctan , tan , . 1 cos lim 2 0 x x x o ՟3 ∖ 㾷 2 2 0 2 2sin lim x x xo . 2 1 2 0 1 cos lim x x x o 2 0 2 2 sin 2 1 lim ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § o x x x t t t tan lim o0 t t t t t limcos sin lim o0 o0 1. 0 sin lim 1 x x o x ߭