高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）30 第三章 函数极限 s10无穷大量

无穷小量无穷小量渐近线S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较第十讲无穷大量数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ আԝઔ ୏ם॰ޗ

无穷小量渐近线无穷小量S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较无穷大量定义2设函数f 在U（x）有定义，若对于任给G>0,存在S>0，使得当xEUx;)CUx）时，有Lf(x)I>G则称函数f(x)当x→xo时为无穷大量，记作lim f(x) = 00.x→xo若定义中的Lf(x)I>G改为 f(x)>G或 f(x)<-G记作lim f(x) = +oo或 lim f(x) = -o0.x-→xox-→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ᅮН | ( )| , fx G! lim ( ) . 0 f o f x x x ᄬ೼ G > 0ˈ ߭⿄ߑ᭄ f (x) ᔧ xo x0 ᯊЎ᮴か໻䞣, 䆄԰ ᳝ ୏ם॰ޗ 㢹ᅮНЁⱘ| ( )| ( ) fx G fx G ! ! ᬍЎ 䆄԰ 0 lim ( ) x x f x o f 䆒ߑ᭄ f ೼ ( ) ᳝ᅮН, 㢹ᇍѢӏ㒭G > 0, U x0 $ ଞלिݸ ( ; ) ( ) x U x0 U x0 $ $ Փᕫᔧ  G  ᯊ ៪ fx G () ,   0 lim ( ) . x x ៪ f x o f

无穷小量近线无穷小量S5无穷大量与无穷小量无穷大量阶的比较相应地称f(x)为x→x,时的正无穷大量和负无穷大量.类似地可以定义如下的无穷大量：lim f(x)=0, lim f(x)=+o0, lim f(x)=-o0;x-→>+x→+00x+8lim f(x)= o0, lim f(x)=+o0, lim f(x)=-o0;x→-00x→-80x→-8lim f(x)= 00 ,lim f(x) = +o0, lim f(x)= -0 .x→00x→>0x8请读者自行写出它们的定义数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ 䇋䇏㗙㞾㸠ߎݭᅗӀⱘᅮН. lim ( ) f , lim ( ) f , lim ( )  f ; o f o f o f f x f x f x x x x lim ( ) f , lim ( ) f , lim ( )  f ; o f o f o f f x f x f x x x x lim ( ) f , lim ( ) f , lim ( )  f . of of of f x f x f x x x x 0 Ⳍᑨഄ⿄ fx x x ( )Ў o ᯊⱘℷ᮴か໻䞣੠䋳᮴ ㉏ԐഄৃҹᅮНབϟⱘ᮴か໻䞣 か໻䞣 ଞלिݸ

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量S5无穷大量与无穷小量阶的比较1例3证明lim+8x→0x1证G>0,取当 0<lx<s时,>G2JG1所以lim+82x-→0 x lim a*=+o0.例4当a>1时，证明x+8证G>0（不妨设G>1),取M =log,G，由对数函数 logax 的严格递增性，当x>M时，a＊>G,这就证明了lima*=+o。x+8数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ ՟3 . 1 lim 2 0  f xo x 䆕ᯢ ᔧ 0 | x | G ᯊ, , 1 2 G x ! . 1 lim 2 0 f xo x ᠔ҹ ՟4 ᔧ a > 1 ᯊˈ䆕ᯢ lim f. o f x x a 䖭ህ䆕ᯢњ lim f . of x x a ߑ᭄ loga x ⱘϹḐ䗦๲ᗻˈ a G , x ᔧ x > M ᯊˈ ! 䆕 G > 0 পM G log , a ⬅ᇍ᭄ 䆕 G ! 0, , 1 G পG ଞלिݸ ( ϡོ䆒 G > 1 ),

无穷小量渐近线无穷小量无穷大量s5无穷大量与无穷小量阶的比较例5证明lim Inx=-0.0证 对VG>0,要找到>0,使得V0<x<S,有Inx<-G由于Inx单调增，只要取=e->0即可lim an = +o0.例6设(an}递增，无上界．证明n→80证因为(an)无上界，所以任给G>0，存在 no，使an。>G.又因(an)递增，故当n>no时，有an≥an >G,即 lim a, =+oo.n→00数学分析第三章函数极限高等教育出版社

؅ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݸिלଞЉݸिسଞ ݸिسଞ ݸिسଞ ঎૝ࡰ ଞלिݸ ૊ࣩࠢ୘ , 0 an t an ! G lim f . o f n n े a ՟ 䆒 䗦๲ˈ᮴Ϟ⬠. 䆕ᯢ lim f . o f n n { } a an 䆕 ಴Ў {an }᮴Ϟ⬠ˈ ՟5 0 lim ln . x x o  䆕ᯢ f ln . x G   ⬅Ѣ ln x ऩ䇗๲ . জ಴{a n }䗦๲ˈᬙᔧn! n0ᯊˈ 0 Փan ! G 䆕 ᇍG ! 0, Փᕫ0  x  G , ଞלिݸ ᳝ ᳝ 㽕ᡒࠄG ! 0, e0 . G G  া㽕প ! ेৃ ᠔ҹӏ㒭 G > 0ˈ , ᄬ೼ n0