S3数列极限存在的条件第六讲致密性定理与柯西准则数学分析第二章数列极限高等教育出版社
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s3数列极限存在的条件例1设S是有界数集.证明：若supS=aS,则存在严格单调增数列(x,}cS,使得limx，=a.n8证因a是S的上界，故对Vε>0,xeS,使得x>a一ε.又因a史S，故x<a,从而有a-e<x<a.现取ε,=l，则x,ES,使得a-g<x<a.再取 6, =min(,a-xi}, 则日 x, e S,使得a-<x<a,且有x, >a-& ≥a-(a-x)=xi数学分析第二章数列极限高等教育出版社
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s3数列极限存在的条件一般地,按上述步骤得到x，1之后，取8, =min二,a-x,1n则存在xES,使得a-8n<xn<a,且有x,>a-8n≥a-(a-xn-1)=xn-1于是得到数列(x,}S，它是严格单调增的，满足a-8<x<a,因此，|xn-a<8n≤=,n=1,2,n这就证明了limx, =a.n-数学分析第二章数列极限高等教育出版社
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S3数列极限存在的条件例2任何数列都存在单调子列证设数列为{a,}，下面分两种情行讨论：1.若对任何正整数k，数列(ak+)有最大项.设(a,}的最大项为an·因为(antn)亦有最大项，设其最大项为am·显然有n2>n,且因为an+n)是(ai+n)的一个子列，故an ≤an;同理存在n>n,使得≤a:a.Wn这样得到了一个单调递减的子列a,数学分析第二章数列极限高等教育出版社
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S3数列极限存在的条件2.至少存在某个正整数k，数列(aktn)没有最大项先取n=k+l,因为(ak+n)没有最大项，故an后面总存在an(n2>n),使得a>a.n,W同理存在an后面的项a（n>n),使得a..>a.n这样得到了一个单调递增的子列数学分析第二章数列极限高等教育出版社
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