第三章数学分析S2函数极限的性质函数极限在前面一节中引进的六种类型的函数极限，它们lim f(x)=A的x-→Xo都有类似数列极限的一些性基本性质质.这里仅以limf(x）=AX+xo为代表叙述并证明这些性质，二、范例至于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改即可*点击以上标题可直接前往对应内容
ዠಮህ੮᎒ቇઌݨ అ᎘எᅛݨऩབྷৡᄎ˨ྴಏ ቸஎཾབྷৡᄎݨህᄷᅢ ᎌፆઊሞ ၼؙ݀ᅾཐج፦ಿፆᄷᅢᎌ˨ ᎃኂෆྴஎᅛݨᅢᎌና፦ಿ˨ ᇴᄐᐗህᄷᅬࢂ৪ଙ hӡߢރஒङۅ ૅރ؆ӣߤআІॾ ӡߢރஒ ࠖȢࠀ ݨ ህȢ ᅢᎌת 0 lim ( ) x x fx A o ؟ӃڀتکӸܯࣻஙՔߗ䎯ӟјІ
limf（x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质第四讲函数极限的性质数学分析第三章函数极限高等教育出版社
㓬ઔׁޯࣩ ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ আ֚ઔ ૅۅஒङߢރӡ
limf(x）)=A的基本性质范例S2函数极限概的性质lim f(x)= A的基本性质xx定理3.2（惟一性）若lim f(x)存在，贝则此极限唯一xxo不妨设lim f(x)= A， 以及 lim f(x)=B证x→>xox-→xo由极限的定义，对于任意的正数 ε，存在正数i,2当 0<Ix-x<8 时,8(1)If(x)-Al<2当 0<1x-xol<8, 时,数学分析第三章函数极限高等教育出版社
㓬ઔׁޯࣩ ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ ؓࣂa㖤▁㓬ͤ ϡོ䆒 f x Aˈ x x o lim ( ) 0 1 2 ᄬℷ᭄ G , , G 0 | | , ᔧ x x0 G 1 ᯊ , (1) 2 | ( ) | H f x A 0 | | , ᔧ x x0 G 2 ᯊ lim ( ) ߭ℸᵕ䰤ଃϔ. 0 f x 㢹 xox ᄬ, lim xo x0 f ( x) Aङׂۅߎૅ ᇍѢӏᛣⱘℷ᭄ H , fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0 hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ 䆕 lim ( ) . 0 f x B x x ҹঞ o ⬅ᵕ䰤ⱘᅮНˈ
limf(x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质8(2)If(x)-B/<2令=min{S,,},当 0<|x-x<时，(1)式与(2)式均成立，所以IA-BI≤IA-f(x)I+If(x)-BI<8.由ε的任意性，推得A=B这就证明了极限是唯一的，8(1)If(x)-A|<2数学分析第三章函数极限高等教育出版社
㓬ઔׁޯࣩ ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ (2) ᓣഛ៤ゟˈ | A B | d | A f (x)| | f (x) B | H . ⬅H ⱘӏᛣᗻˈ 䖭ህ䆕ᯢњᵕ䰤ᰃଃϔⱘ. min{ , }, 1 2 ҸG G G (1) ᓣϢ . 2 | ( ) | H f x B (2) (1) 2 | () | fx A H fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0 0 ᔧ 0| | , x x G ᯊ ᠔ҹ ᕫ A = B.
limf(x）=A的基本性质范例S2函数极限概的性质定理3.3（局部有界性）若 lim f(x)= A,则存在U(xo),f(x)在U(xo)上x-→xo有界.证 取ε=1,存在8>0,当0<x-x<8时Lf(x)-A)<1.由此得[f(x)/<|A/+1.这就证明了f(x)在某个空心邻域U(xo,)上有界数学分析 第三章函数极限高等教育出版社
㓬ઔׁޯࣩ ݤӢ߅ॕЅ् Ӡ߃ݤୡ ॑࣍ਃӟݾঈ hӠ߃ݤୡࣩࠃ㓬ઔ f x A x x o lim ( ) 0 ਇ҅ e㓬ࣙޥفaࣂؓ 䆕 পH 1, | f (x) A| 1 . | f (x)| | A| 1 . ⬅ℸᕫ lim ( ) , 0 f x A x x o 㢹 ߭ᄬ U$ (x0 ), f (x) U$ (x0 )Ϟ ᳝⬠ 䖭ህ䆕ᯢњ ᶤϾぎᖗ䚏ඳ ( , )Ϟ᳝⬠ U x0 G $ f (x) ᄬG ! 0, 0 ᔧ0 x x G ᯊˈ fࣩޯׁ㓬ઔ x A x x o lim ( ) 0