高等教育出版社：《数学分析》课程教学课件（教材讲稿，阅读版）14 第二章 数列极限 s04数列的性质2（下）

S2收敛数列的性质第四讲数列的性质2数学分析第二章数列极限高等教育出版社

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四则运算52收敛数列的性质迫敛性数列子列lim an =a>0, 求证 lim "an =1.例3设a,≥0,n8证因为 lim a=a>(0，据极限的保号性，存在Nn-→0a3a有即当 n>N时,an22Y13aa10n2213aa又因为lim所以由极限的迫22n-→8n-敛性，证得lim"an=1。n-数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟3 0, lim 0, lim 1 . n nn n n n a aa a o f o f 䆒 t ! ∖䆕 䆕 lim 0 , n n a a of ಴Ў ! ᥂ᵕ䰤ⱘֱোᗻ, ᔧ n>N ᯊ, 3 , 2 2 n a a ᳝  a  े 3 . 2 2 n n n n a a  a  ᠔ҹ⬅ᵕ䰤ⱘ䖿 lim 1 . n n n a o f ᬯᗻ, 䆕ᕫ ᄬ೼N, জ಴Ў 3 lim lim 1 , 2 2 n n n n a a of of ଘۅݿ֙ Ө૜ॠ ރӧ׿ӧ

四则运算追敛性52收敛数列的性质数列子列例4求极限 lim(a±-1)n→1+ a解(1)la|<1，因为 lima"=0，所以由极限四则n00lim anqn-→80运算法则，得lim=0.n→1 + an1+ lim ann-0a"11(2) a=1, limlim1+a"2n→ 2n-00(3)lal>1，因 lim(1/a")=0，故得n0011limlimann-→ 1 + an1+ lim(1/a")n-→0 1+1n→0数学分析第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟4 lim ( 1). 1 n n n a a of a z   ∖ᵕ䰤 㾷 (1) | | 1 , a  lim 0, n n a o f ಴Ў ᠔ҹ⬅ᵕ䰤ಯ߭ 䖤ㅫ⊩߭, (2) 1, a 1 1 lim lim . 1 2 2 n n n n a o f a o f  (3) | | 1, a ! lim(1 ) 0 , n n a o f ಴ ᬙᕫ lim 1 n n n a of  a lim lim 0 . 1 1 lim n n n n n n n a a a a o f o f o f   ᕫ 1 lim 1 1 n nof a  1 1 . 1 lim(1 ) n n a of  ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

追敛性四则运算2收敛数列的性质数列子列例5设ai,a2，，am为m个正数,证明lim a"+a," .+a." -max a, a2. am..n-证设 a=max{a, a2,",am了.由a≤" a"+a,"+...+am" <"ma,与lim "ma= lima = a,n-→00n-→以及极限的迫敛性，得Ylim a" +a," +...+am=a=maxfaj,a2,.,ammn8数学分析第二章数列极限I高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ՟5 1 2 , m 䆒 aa a Ў m Ͼℷ᭄, 䆕ᯢ 1 2 12 lim max { , , , } . n nn n m m n a a a aa a of    n 1 2 m 1 2 , n nn n n m a a a a ma d    d n m 䆕 max { , , , } . 1 2 m 䆒 a aa a ⬅ lim lim , n n n ma a a of of ҹঞᵕ䰤ⱘ䖿ᬯᗻ, 1 2 12 lim max { , , , } . n nn n m m n a a a a aa a of    n 1 2 m Ϣ ᕫ ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ

四则运算追敛性s2收敛数列的性质数列子列定义1设(a,}为数列，(n为N,的无限子集,且n<n<...<nk <...则数列an,ann称为(a,)的子列，简记为(an).注由定义,{a,}的子列an}的各项均选自{an,且保持这些项在{a,}中的先后次序.{an}中的第k项是(a,}中的第n项，故总有nk≥k例如{a2n),(a2n-1}均是{an}的子列.数学分析 第二章数列极限高等教育出版社

ୡ߃Ӧݤ ्зॕ߅Ӣ؅ݤ ॑࣍ਃӟݾঈ௤ hݤݠݗӦࣩ㓬ઔ ؓТ {} , n 䆒 a Ў᭄߫ 1 2 , nn n  k ᭄߭߫ 1 2 , , , nn nk aa an {} , n ⿄Ў a ⱘᄤ߫ ⊼ , { } { } { }, nn n k ⬅ᅮН aa a ⱘᄤ߫ ⱘ৘乍ഛ䗝㞾 { }n Ϩֱᣕ䖭ѯ乍೼ a Ёⱘܜ⃵ৢᑣ {} , n k ka n 乍ᰃ Ёⱘ㄀ 乍 { } nk a Ёⱘ㄀ + {}N , nk Ў ⱘ᮴䰤ᄤ䲚 Ϩ { }. nk ㅔ䆄Ў a . ᬙᘏ᳝ n k k t ૧ݠ㓬 ֙Ө૜ॠ ݤӦ׾Ӧ 2 21 { },{ } { } nn n aa a ഛᰃ ⱘᄤ߫ ՟བ