53函极限存在的条件第六讲单调有界定理及柯西准则数学分析第三章函数极限高等教育出版社
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单调有归结原则$3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理单调有界定理定理3.10设f为定义在U(x)上的单调有界函数则右极限 lim f(x)存在。x→xo(相信读者也能够写出关于lim f(x)，lim f(x)→-8x→xolim f(x)的单调有界定理.)x-→>+证不妨设f在U(x)递减.因为f(x)有界，故sup f(x)存在，设为A．由确界定义，Vε>0,xeU(xo)日x"U(x),使数学分析第三章函数极限高等教育出版社
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单调有归结原则S3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理A-ε< f(x*)≤A.令=x-xo，当0<x-x时，由f(x)的递减性，A-&<f(x")≤f(x)≤A<A+8.这就证明了lim f(x) = A.x-→xo数学分析第三章函数极限高等教育出版社
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单调有归结原则S3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理例1 设函数f(x)在区间(a,b)上递增，xε(a,b)f(xo -0)≤f(xo)≤f(xo +0)求证：证因f在U(x）上单调有界，由单调有界定理左极限 (xo-0)存在，且等于 sup)(x)ceU(xo)而对 VxeU(x), f(x)≤f(xo). 故 f(xo-0)≤f(xo),类似地，f(xo)≤f(xo+0)注若 f(x)递减,则f(x+0)≤(xo)≤f(x-0)数学分析第三章函数极限1高等教育出版社
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单调有归结原则$3函数极限存在的条件柯西收敛准则界定理例2 设 f(x)在U°(xo,n)上单调,则 lim f(x)x→xo存在的充要条件是存在一个数列(xn) cU(xo,n), Xn → Xo 使limf(x,)存在。n>00证必要性可直接由归结原则得出，下面证明充分性假设(x)递减设 (xn)cU(xo,n), x, →xo, lim f(xn)= A.数学分析第三章函数极限高等教育出版社
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