∑的法向量为n={-x1,-z1,1}, 方向余弦为cosa= 2 B 1+3x+Zy 2 COS 2 1+z+z cos a cos cos y 2 1+z++Z 2 4y cos y cos y rr oP dzdex-opdxdy=ls aP OP cos- cos y ds ay z ∑ aP aP cos B--cos y z aPaP +oz, dxdy ∑ K心
{ , ,1}, x y n = −z −z 的法向量为 方向余弦为 , 1 cos 2 2 x y x z z z + + − = , 1 cos 2 2 x y y z z z + + − = , 1 1 cos 2 2 x y + z + z = . cos cos , cos cos 则zx = − z y = − − dxdy y P dzdx z P dS y P z P − = cos cos cos cos cos dxdy y P z P − = − = − dxdy z P y P cos cos z dxdy z P y P y + = −
P(x,y,2)+a-P(x,y,2).y lady z Plx, y, z(x, y)lardy O D Gre公式 =Px,y,2(x,y)=P(x,y,) ∑取下侧同样成立 同理可证ad 0 ∑ z dydz=f edy OR 三式相加 dtx=Rz即得结论 ∑ ax (2)若平行于坐标轴的直线与∑的交点 多于一个时,作辅助线可得结论成立 K心
+ = − Dxy P x y z z y dxdy z P x y z y [ ( , , ) ( , , ) ] P x y z x y dxdy y Dxy = − [ , , ( , )] P x y z x y dx c Green ======= [ , , ( , )] 公式 P(x, y,z)dx. = 取下侧同样成立 = − dydz Qdy z Q dxdy x Q 同理可证 = − dzdx Rdz x R dydz y R 三式相加 即得结论. (2)若平行于坐标轴的直线与∑的交点 多于一个时，作辅助线可得结论成立
注意: 1)便于记忆, Stokes公式可用行列式表示为 dydz dzdx dxdy -J Pdx+ody+ Rdz ∑ ay a P Q R (2)利用两类曲面积分的关系,得 Stokes公式的另一形式 cosa cos B cos y S=Px+Q小+Rd ax O ∑ P o R 其中n={cosa,cosB,osy} K心
注意: (1) 便于记忆, Stokes公式可用行列式表示为 = + + Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy (2) 利用两类曲面积分的关系, 得Stokes公式的另一形式 = + + dS Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos cos n = {cos,cos ,cos } 其中