$2.3恰当方程与积分因子 do(y) =N(x,y)- M(x,y)d (2.32) 少 vvrvwrwwvwrrrrrrvwwwrrrvrvrvrvrvwvrrrrrrvrr 显然只要上式右端与x无关，把它的两边对y积分一次即得p(代入 (2.31)就找到其全微分为(2.28)左端的u(x,下面说明(2.32)右端与x 无关 事实上，由于M(x续可微，因此根据条件(2.30) aM aN (2.30) lNWwa1=x-Ma ax aN ∫Mx,)= aN aM =0 注： 这里用到了含参变量积分的性质：若f(x,y),f进续，则 寻∫g 茵此在涤件(2.30j得到满足的条件下，为了求出c,位.31)满边对y积 分得 p)）=jiN(x,y)-a∫Mx,y1 结束 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 ( ) ( , ) ( , ) (2.32) d y N x y M x y dx dy y = − 显然只要上式右端与x无关，把它的两边对y积分一次即得 代入 (2.31)就找到其全微分为(2.28)左端的 .下面说明(2.32)右端与x 无关. ( y) u x y ( , ) 事实上，由于 连续可微，因此根据条件(2.30) M x y ( , ) §2.3 恰当方程与积分因子 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ] N N x y M x y dx M x y dx x y x x y − = − [ ( , ) ] 0 N N M M x y dx x y x x y = − = − = (2.30) M N y x (这里用到了含参变量积分的性质:若 f x y f x y ( , ), ' ( , ) 连续 y ,则 ( , ) f f x y dx dx y y = ) 注: 因此在条件(2.30)得到满足的条件下，为了求出 ,(2.31)两边对y积 分得 u x y ( , ) ( ) [ ( , ) ( , ) ] y N x y M x y dx dy y = −
§2.3恰当方程与积分因子 du(x,y)=M(x,y)d+N(x,y)dy (2.29) 将此式代入(2.29)从而求出 ,MC+jN(x,-∫Mx,I 这样我们得出(2.28)为全微分方程的充分必要条件是(2.30)成立 如果对于(2.28)，(2.30)成立，那么它的通解为： ∫Mx,Jy)+∫Nx,y)-∫JM(x,yxw=e 用类此的方法可推导出其通解为： ∫Mx,y)+∫Nx,y)-∫N(x,yw=c 其通解也可以用下面的定积分来求： 或 ∫M(x,)+∫N(,y)=c 其中(xo,是M化，y),N,y)及其偏导数连续的区域内的任意一点 结束 帮助 返▣
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 这样我们得出(2.28)为全微分方程的充分必要条件是(2.30)成立. §2.3 恰当方程与积分因子 将此式代入(2.29)从而求出 u x y M x y dx N x y dy M x y dx dy ( , ) ( , ) ( , ) [ ( , ) ] = + − 如果对于(2.28),(2.30)成立,那么它的通解为: M x y dx N x y dx M x y dx dy c ( , ) ( , ) [ ( , ) ] y + − = 用类此的方法可推导出其通解为: M x y dx N x y dx N x y dy dx c ( , ) ( , ) [ ( , ) ] y + − = 其通解也可以用下面的定积分来求: 或 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y M x y dx N x y dy c + = 其中 (x0 , y是 0 )M(x,y),N(x,y)及其偏导数连续的区域内的任意一点. du x y M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) ( , ) (2.29) = +
§2.3恰当方程与积分因子 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.28) 结束 精助2上一贡返回下页2目录 首页
结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §2.3 恰当方程与积分因子 M x y dx N x y dy ( , ) ( , ) 0 (2.28) + =