2判别函数在一点处连续的条件lim f(x)= f(xo)连续性的等价定义x→Xo函数f(x)在点x,处连续必须同时满足三个条件：(1),f(x)在点x,处有定义;(2) lim f(x)存在;x→xo(3) lim f(x) = f(x).x→xo
0 函数 f (x)在点x 处连续必须同时满足三个条件: 0 (1) f (x)在点x 处有定义; (2) lim ( ) ; 0 f x 存在 xx (3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = 2 判别函数在一点处连续的条件 连续性的等价定义 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x =
函数f(x)在点x处连续的第1个条件：(1) f(x)在点x,处有定义;2例1函数y=tanx在点 x=处是否连续？解函数在该点处无定义，所以不连续tanxx2
y = tan x 2 x y o 0 (1) f (x)在点x 处有定义; 解 函数在该点处无定义，所以不连续 0 函数 f (x)在点x 处连续的第1个条件: y = tan x 2 例1 函数 在点 x = 处是否连续？
函数f(x)在点x处连续的第2个条件：(2) lim f(x)存在;x→xox<0x-1.0x=0函数 f(x)=例2在x=0点处是否连续？x+1, x>0解因为 f(0-)= lim f(x)= lim(x-1)=-1,x-0-01f(0t)= lim f(x)= lim(x+1)=1,0x-0+x-→0*x-1即函数在x=0点处无极限，不满足连续的第2个条件所以函数在x=0点处不连续
(2) lim ( ) ; 0 f x 存在 xx x y o 1 -1 0 0 (0 ) lim ( ) lim( 1) 1, x x f f x x - - - = = - = - 0 0 (0 ) lim ( ) lim( 1) 1, x x f f x x + + + == = + = 0 函数 f (x)在点x 处连续的第2个条件: 例2 函数 在x=0点处是否连续？ 1 , 0 ( ) 0 , 0 1 , 0 x x f x x x x - = = + 解 因为 即函数在x=0点处无极限，不满足连续的第2个条件， 所以函数在x=0点处不连续
函数,f(x)在点x,处连续的第3个条件：(3) lim f(x) = f(xo)x-→xox±1x,函数,f(x)=例3在x=1点处是否连续？0,x=1解国因为f(1) = 0,lim f(x) = limx =1± f(1)x→>1X→不满足连续的第3个条件所以函数在x=1点处不连续
(3) lim ( ) ( ). 0 0 f x f x x x = 0 函数 f (x)在点x 处连续的第3个条件: 例3 函数 在x=1点处是否连续？ , 1 ( ) 0, 1 x x f x x = = 1 1 lim ( ) lim 1 (1), x x f x x f = = 解 因为 f (1) = 0, 不满足连续的第3个条件. 所以函数在x=1点处不连续
3一点处连续与极限存在的关系xeU°(x,)一点处极限存在：lim f(x)= Ax→xolim f(x)= f(x) x eU(x,)一点处连续：x-→xo都是xo点处的极限表达式形式上的相同点：隐含的不同点：定义域要求不同；极限值不一定相同函数在xo点处连续，则极限必存在；二者关系：极限存在，却不一定连续
3 一点处连续与极限存在的关系 一点处极限存在： 0 lim ( ) x x f x A = 一 点 处 连 续 ： 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x = 表达式形式上的相同点 ： 隐含的不同点 ： 0 x ( x ) 0 ( ) o x x 都是x0点处的极限 定义域要求不同； 极限值不一定相同. 二者关系： 函数在x0点处连续，则极限必存在； 极限存在，却不一定连续