《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）n阶行列式的计算

a b b b 例3计算行列式 b a b b D= b b a b b b b a 解：将第2,3，n列都加到第1列得 a+(n-1)b b b a+(n-1)b b D=a+(n-1)bb b a+(n-1)bb b

b b b a b b a b b a b b a b b b D           解：将第2,3,.，n列都加到第1列得         1 1 1 1 a n b b b b a n b a b b D a n b b a b a n b b b a          例3计算行列式

1 b b b 1 a b b =[a+(n-1)b] 1 b a . b 1 b b a 1 b b b 0 a-b 0 0 0 =[a+(n-1)b]00 a-b00 =[a+(n-1)ba-bn- 0 0 0 .a-b

  b b a b a b a b b b b b a n b          1 1 1 1   ( 1)   a b a b a b b b b a n b              0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 1)  ( 1) ( ) . 1     n a n b a b

注意：行列式的每一行的各元素之和相等时常用 此法。 例如下面的行列式 x-m X2 . Xn 1 X3. D= X X2-m. Xn =∑x-m x2-m . i= X X2 Xn-m 1 1 0 1 -m 0 -m =(∑x-m(-m) i=1 i=1 1 0 -m

x x x m x x m x x m x x D n n n           1 2 1 2 1 2 此法。 注意:行列式的每一行的各元素之和相等时常用 例如下面的行列式 m m x m n i i              1 0 1 0 1 0 0 ( ) 1 1 1 ( )( )       n n i xi m m x x m x m x x x x m n n n n i i             2 2 2 1 1 1 1 ( )

例题4：计算行列 a 1 1 1 1 a 0 0 D,= 1 0 a, . 0 1 0 0 解：la 11 .1 n 1 ao 0 0 1 41 0 . 0 i=l ai 1 a 0 0 Dn= 1 0 a, . 0 1 0 a 0 1 0 0 . an 1 0 0 an (0o -)a1a2.a i=l a

例题4：计算行列式 n n a a a a D          1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 1 0  n n a a a a D          1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 1 0  解: n n i i a a a a a          1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0    n n i i a a a a a 1 2  1 0 ) 1 (   

2、降阶法 例5计算行列式 a b c d a+b a+b+c a+b+c+d D= a 2a+b 3a+2b+c 4 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d 解： a b C d 4-3 3-2 0 a a+b a+b+c D = 2-1 0 a 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c

例5 计算行列式 2 3 2 4 3 2 3 6 3 10 6 3 a b c d a a b a b c a b c d D a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d                    4 3 3 2 2 1 0 0 2 3 2 0 3 6 3 r r r r r r a b c d a a b a b c D a a b a b c a a b a b c              解： 2、降阶法