186第五章二次型再令=Vdy（i=1,2.r)，则F(X)=+.+22-+1-.-2由于可逆线性变换不改变二次型的秩，故标准形中系数不为零的平方项的项数是惟一确定的.在理论上还可以进一步证明，标准形中正项项数P与负项项数T一P也是惟一确定的，故任一二次型的规范形是惟一的，二次型的标准形中，正项项数p称为正惯性指数，负项项数r一p称为负惯性指数而正负惯性指数的差2p-r称为符号差可逆线性变换不改变二次型的秩与正负惯性指数，而秩与惯性指数在标准形中都是一目了然的，这正是我们要用可逆线性变换化二次型为标准形的目的之一，例4设二次型f(1.23)=+a+a+212-2223-2a113的正负惯性指数都是1，求于(21,22，3）的规范形及常数a.解f(1,2,a3)的规范形为折一.因为f(a1,2,3）的正负惯性指数都是1,所以于(r1,2.3)的秩为2.矩阵1A=1a-0 1的秩也为2.故11-a=-(a- 1) (a + 2) = 01det A-a-11-a解得a=1或a=-2.若a=1.则R(A)=1,与R(A)=2矛盾.所以a=-2三、用正交变换化二次型为标准形若线性变换X=CY中的系数矩阵C是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换对n维实向量α=（a1,a2..，an）β=（b1b2，bm）T，设A为n阶正交矩阵，作正交变换X=Aα,Y=AB.则(X,Y)=(Aα,AB)=(Aα)(AB)=QTATAβ=QTβ=(α,β)即正交变换保持向量内积不变，因此也就保持向量的长度与夹角不变.于是，在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变，而这个特征是一般可逆线性变换所不具备的，这也是我们着重讨论正交变换的目的之一
5.1实二次型及其标准形187设f（X）=XTAX是实二次型，则A为实对称矩阵，由84.4定理3可知，存在正交矩阵C,使CTAC=diag(入1，入2，.，入），其中入1，2，，入是A的全部特征值作正交变换X=CY，则f(X)=YTCTACY=A1+A2y2+..-+An于是，我们已经证明了如下定理：定理3任何一个实二次型都可以通过正交变换化为标准形由以上推导可知，用正交变换X=CY化二次型F(X）=XTAX为标准形的主要工作，在于求正交矩阵C，使CTAC=diag(入1，>2，…，入）这项工作在第四章中已经做了详细的讨论用正交变换化二次型f（X）=XTAX为标准形，平方项的系数刚好是矩阵A的全部特征值，若不计特征值的排列顺序，则这样的标准形是惟一的，例5用正交变换化二次型典型例随精讲f(a1,22,r3)=-2a-20g-4r1a2+4a123+8r2r3用正交变换法化为标准形二次型为标准形解F(1,±2,43)的矩阵为2-2A=-224242入-12-2det(I-A)=2>+2-4=(入—2)2(>+ 7),-2-4入+2特征值入1=2(2重),2=-7.对于入1=2,线性方程组入,I-A)X=0的基础解系为Q1=（-2,1,0),Q2=(2,0,1)T将α1,Q2正交化，有β1= Qr=(-2,1,0)T,a2tβ2= Q2(2,4.5)T:5.5再将β,β2单位化，有110(-2, 1,0)T,Y1V51工72=1313Vs(2.4,5)T对于入2=-7,线性方程组（入2I-A)X=0的基础解系为α3=(1,2,-2)T，将α3单位化，有1(1,2,2)Y3=
第五张二次型188令22113:2-3:2-33V5T914U+3V5V55930C3V5则X=CY是正交变换，且（21，23)=2+2-7%习题5.17(a1+a2+a3)的矩阵1.写出二次型f(a1,32,3)=2.用配方法化下列二次型为标准形：(1)a+4r1a2-3r2r3;(2)++++2212+21223+2324(3)212+2a173-6213.3.确定下面二次型的秩与符号差：Tir2n+a222n-1++*+anEn+1.4.用正交变换化下列二次型为标准形：(1)3r+3r+4r122+8r123+4a23;(2)+-+4r1r3+422135.已知二次型f(r1,12,a)=2+3a+33+2a2223(a>0)通过正交变换化为标准形f=%+2%+5%，求参数a及所用的正交变换矩阵C.6.设有n元二次型f=XTAX.A的特征值入≤入2≤≤入n.证明对任意n维实向量X，有AXTX≤XTAX<AXTX7.设二次型f（X）=f(r1r2r3)=9r+4+3，求f(X）在约束条件XTX=1下的最大值和最小值。8.设A是对称矩阵，且对任意n维向量X，均有XTAX=0.证明A=O9.证明若A.B均为三阶实对称矩阵，且对一切X有XTAX=XTBX，则A=B.10.设C为可逆矩阵，CTAC=diag(di,d2，d），间对角矩阵的对角元是否一定是A的特征值？若成立，证明之：若不成立，举出反例11.设n阶实对称矩阵A的秩为r(r<n)。证明存在可逆矩阵C,使得CAC=diag(d.d2*,d0,.+0)，其中d0(i=12.r)