江画工太猩院 几何意义: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条 直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和 在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面 积取负号
江西理工大学理学院 几何意义： 积取负号． 在 轴上方的面积取正号； 在 轴下方的面 直线 之间的各部分面积的代 数和． 它是介于 轴、函数 的图形及两条 x x x a x b x f x = , = ( ) + + − −
江画工太猩院 例1利用定义计算定积分[x2k 解将0,等分,分点为x=,(=12,m) 小区间x1,x的长度Ax;=,(=12,…,n) 取5;=x;,(i=1,2,…,n) ∑f(5Ax=∑5△x=∑x△x, =
江西理工大学理学院 例1 利用定义计算定积分 . 10 2 x dx ∫ 解 将[0,1]n等分，分点为 n i xi = ，(i = 1,2,L,n) 小区间[ , ] xi−1 xi 的长度 n xi 1 ∆ = ，(i = 1,2,L,n) 取 i i ξ = x ，(i = 1,2,L,n) i i n i ∑ f ∆x = ( ) 1 ξ i i n i = ∑ ∆x = 2 1 ξ , 1 2 i n i i = ∑x ∆x =
江画工太猩院 211321mn+1)(2n+4 1n)nn百n 几→>0→n x dx =lim ∑△x i=1 lim1+-2+ n→0 3
江西理工大学理学院 n n i n i 1 2 1 ⎟ ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑= ∑= = n i i n 1 2 3 1 6 1 ( 1)( 2 1 ) 3 + + = ⋅ n n n n , 1 2 1 1 6 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n n λ → 0 ⇒ n → ∞ x dx ∫ 1 0 2 i i n i = ∑ ∆x = → 2 1 0 lim ξ λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n → ∞ n n 1 2 1 1 6 1 lim . 3 1 =
江画工太猩院 例利用定义计算定积分[t x 解在1,2中插入分点q,q2,…,qn, 典型小区间为q,ql,(=1,…,n) 小区间的长度△x=q-q=g(q-1, 取;=q,(i=1,2,…,n) ∑f5Ax=∑Ax=∑n(q-1
江西理工大学理学院 例2 利用定义计算定积分 . 2 1 1 dx x ∫ 解 在[1,2]中插入分点 2 1 , , , n− q q L q , 典型小区间为[ , ] i 1 i q q − ，（i = 1,2,L,n） 小区间的长度 ( 1) 1 1 ∆ = − = − − − x q q q q i i i i , 取 −1 = i i ξ q ，（i = 1,2,L,n） i i n i ∑ f ∆x = ( ) 1 ξ i n i i = ∑ ∆x =1 1 ξ ( 1) 1 1 1 1 = − − =∑ − q q q i ni i
江画工太猩院 ∑(g-1)=m(q-1)取g"=2即q=2 1 ∑f(51Ax=n2-1) 2x-1 lim x(2-1)=lim=In 2, x-+00 limn(2n-1=In 2 1-→0 dx=lim2 Ax;=limn(2m-1 )=In2 1-)0 →0三
江西理工大学理学院 ∑ = = − n i q 1 ( 1) = n(q − 1) 取 = 2 n q 即 n q 1 = 2 (2 1), 1 = −n n lim (2 1) 1 − →+∞ x x x Q x x x 1 2 1 lim 1 − = →+∞ = ln2, lim (2 1) 1 ∴ − →∞ n n n = ln2, dx x ∫ 21 1 i ni i = ∑ ∆x = → 1 0 1 limλ ξ lim (2 1) 1 = − →∞ n n n = ln2. i i n i ∑ f ∆x = ( ) 1 ξ