江画工太猩院 怎样的分法,也不论在小区间x1,x上 点怎样的取法,只要当九→>0时,和S总趋于 确定的极限,我们称这个极限为函数f(x) 在区间a,b上的定积分,记为 积分上限 积分和 f(xk==im∑(5△G 3~0i=1 积分下限 被被积|a,积分区间 积 数 积表达式 分变量
江西理工大学理学院 怎样的分法， ∫ = = b a f ( x )dx I i i n i ∑ f ∆x = → lim ( ) 1 0 ξ λ 被积函数 被积表达式 积分变量 [ a , b ]积分区间 也不论在小区间 [ , ] i 1 i x x − 上 点ξ i怎样的取法，只要当 λ → 0时， 和 S总趋于 确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ]上的定积分，记为 积分上限 积分下限 积分和
江画工太猩院 注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 f(x dr=f(t)dt =f(u du (2)定义中区间的分法和2的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间a,b上的定积分存在时, 称∫(x)在区间a,6上可积
江西理工大学理学院 注意： （1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， ∫ba f (x)dx ∫ = ba f (t)dt ∫ = ba f (u)du （2）定义中区间的分法和ξ i的取法是任意的. （3）当函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分存在时， 而与积分变量的字母无关. 称 f ( x)在区间[a,b]上可积
江画工太猩院 三、存在定理 定理1(可积的必要条件)函数f(x)在区间 la,b上可积的必要条件是f(x)在,b上有界 证(用反证法若f(x)在a,b上无界,任意分割a,bl, 则必存在一个小区间[x1,x1使fx)在该小区间上 无界.因此对无论怎样大的正数M,总能找到 x1,x;,使|f(5);>M 从而可使|∑f(4;)Ax1任意大 故和式极限不存在,即f(x)在|a,b止上不可积
江西理工大学理学院 三、存在定理 定理1 （可积的必要条件） [ , ] ( ) [ , ] . ( ) 上可积的必要条件是 在 上有界 函数 在区间 a b f x a b f x 证 (用反证法)若f (x)在[a,b]上无界，任意分割[a,b], . [ , ], ( ) 1 无界 则必存在一个小区间 xi− xi 使f x 在该小区间上 x x f x M M i i i i i ∈[ − , ], | ( ) |> , , 1 ξ ∆ ξ 使 因此 对无论怎样大的正数 总能找到 | ( ) | . 1 从而可使 ∑ 任意大 = n i i i f ξ ∆x 故和式极限不存在，即 f ( x)在[a,b]上不可积
江画工太猩院 定理2当函数f(x)在区间a,b上连续时, f(x)在区间,b上可积 定理3设函数∫(x)在区间ab上有界, 且只有有限个间断点,则f(x)在 区间a,b上可积 定理4设函数f(x)在区间a,b上单调有界, 则f(x)在区间a,上可积
江西理工大学理学院 定理2 当函数 f ( x)在区间[a,b]上连续时， 定理3 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， f ( x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a,b]上可积. 定理4 设函数 f (x)在区间[a,b]上单调有界， 则 f (x)在区间[a,b]上可积
江画工太猩院 四、定积分的几何意义 f(x)>0,(x)x=A曲边梯形的面积 f(x)<0,(x)k=-4曲边梯形的面积 的负值 A4 ∫(x)x=A1-A2+A3
江西理工大学理学院 f (x) > 0, ∫ = ba f (x)dx A 曲边梯形的面积 f (x) < 0, ∫ = − ba f (x)dx A 曲边梯形的面积 的负值 A1 A2 A3 A4 1 2 3 4 f (x)dx A A A A b ∫a = − + − 四、定积分的几何意义