中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第四章 函数逼近

口求法:s*(x)=a(x)+ap(x)++a,@,(x)，其中p,(x)为基函数(已知)。..求s(x)台求ao,a,.,an,使m(., -[2. (.) -,=mink=(显然，Q是关于ao,a,…a,的二次多项式且正定因此，一定存在最小值由多元函数取得极值的必要条件，有α =0 (j= 0,1,,n)aa;aQ≥2(Z即axPr(x,)-y,)p,(x,)) = 0aa;i=0k=0

求法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 n n j s x a x a x a x x             0 1 ，其中 为基函数(已知)。 s x( )    求 ( , , , ) ( ) 2 0 1 0 0 m n n k k i i i k Q a a a a x y               min , , , 显然， 是关于 的二次多项式且正定 Q a a a 0 1 n 因此，一定存在最小值 由多元函数取得极值的必要条件，有 ( , , , ) j Q j n a     0 0 1 j Q a   [ ( ( ) ) ( )] m n k k i i j i i k a x y x         0 0 即 2  0 , , , , n a a a 求 使 0 1

a甲(x,),(x,)-y,p,(x,)=0亦即k=0i=0ZaZ(x,,(x,)-Zy,,(x) j=0,1,.,nk-0i=0-Pr =(Pr(xo),Pr(x),..-Pr(x.)e R"记向量y=(yo,i,",ym)eR"20(4)(5)-(0.9)-0/0,则i=020(0)=(0. )=0lyi=0m2a,(x,);(x)=y9,(x)故j= 0,1,...,ni-(k=-0-a (,,,)=(j,),j =,..,.n--法方程组k=0

亦即 [ ( ) ( ) ( )] m n k k i j i i j i i k a x x y x          0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n m m k k i j i i j i k i i a x x y x          j n  0 1, , , 记向量 ( ( ), ( ), , ( ))T k k k k m      x x x 0 1 ( , , , )T m y y y y  0 1 则 ( ) ( ) ( , ) m T k i j i k j k j i       x x     0 ( ) ( , ) m T k i i k k i    x y y y     0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 n m m k k i j i i j i k i i a x x y x          ( , ) ( , ), , ,., n k k j j k a y j n         0 0 1 m  R m  R 故 j n  0 1, , , -法方程组

Za(甲r,甲,)=(甲,y) j=0,1,即ao,a,...,a,应满足：k=0j=0时(Po,P)a, +(Pi,P)a +(P2,P)a, +...+(Pn.)a, =(Po,y)j=1时(Po,P)a, +(P1,P)a, +(P2,P)a, +...+(Pn,)a, =(Pi,y)(Po,P2)a +(P,P)a +(P2,P)a, +...+(PnP)a, =(P2, y)j=2时j=n时(Po,Pn)a, +(P,,)a +(P2,Pn)a, +...+(PnPn)a, =(Pn,y)表示为矩阵形式，有ao((Po, y))(PP)(P,甲)(Po,P)...(o,)(q,y)(Pi,P,)(P1,)(Pi,Pn)a,(P,甲,)(P2,y)(P2,P)(P2,)..(P2,n)az(2,P2)-(Pn,P)(Pn)(Pn)...(PnPn)))((n,y)(an)一-法方程组的内积形式

( , ) ( , ), , ,., n k k j j k a    y j n     0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n          0 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0 a a a a y      j  0时 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n          0 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 a a a a y      j  1时 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n          0 2 0 1 2 1 2 2 2 2 2 a a a a y      j  2时 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n          0 0 1 1 2 2 a a a a y      j n  时 . , , , n a a a 即 应满足： 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) . . . . . . ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) n n n n n n n n n a y a y a y a                                                          0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 1 2 . ( , ) n  y                 表示为矩阵形式，有 -法方程组的内积形式

p,(x))P(x.)9(x)9(x),(x)P(x)...G=(go P.... P.)再记：：.......P(x.) ... P.(x.)P.(x.)0(... .of ... .则2-/9G'G=.0..TP.p. P.on ... Phe..pr(o,p)(o,q)... (Po,P,)(P,P)(P,P)... (,甲n)...(n,Pn)(Pn,P.)(Pn,P)oyof(po,y)·法方程组的内积形式qf(pi,y)qfyG'Ga=Gy..*...phyo"(Pn,y)一一法方程组的矩阵形式

再记： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m n m x x x x x x G x x x                       0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 则   T T T n T n G G                      0 1 0 1 . . . . . . T T T n T T T n T T T n n n n n n                                0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) ( , ) . ( , ) . . . ( , ) ( , ) . ( , ) n n n n n n                                0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 T T T T n G y y                   0 1 T T T n y y y                 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) n y y y                 0 1 法方程组的内积形式 T T   G Ga G y -法方程组的矩阵形式     0 1 n 

口几点备注1、法方程组GTGa=GIy一定有解！证明：往证 R(G'G)=R(G'G,G'y)由线性代数可知下式成立R(G) = R(GT) = R(GTG)又因为R(G'G)≤ R(G'G,G'y) = R(GT (G,y)≤ R(GT) = R(G'G)所以R(G'G)= R(GTG,GTy)

几点备注 T T 1、法方程组 一定有解！ G Ga G y  证明： ( ) ( , ) T T T 往证 R G G R G G G y  由线性代数可知下式成立 ( ) ( ) ( ) T T R G R G R G G   又因为 ( ) ( , ) T T T R G G R G G G y    , ( )  T T   R G G y R G ( ) T  R G G 所以 ( ) ( , ) T T T R G G R G G G y 