定理2、设41,A2…n是方阵A的m个互不相 同的特征值,a1x12…1是A的属于特征值1 (i=1,2,…,m)的线性无关的特征向量,则有所有 这些特征向量组成的向量组 11, 21522 a m13 是线性无关的。 上页
是线性无关的。 α , ,α α ，α ， ，α α ,α , ,α , ,α , 这些特征向量组成的向量组 (i 1,2, ,m)的线性无关的特征向量，则有所有 同的特征值，α ,α , ,α 是A的属于特征值λ 定理2、设λ，λ λ 是方阵A的m个互不相 m 1, 2 i m 2 m s 1 1 1 2 1 s 2 1 2 2 2 s m 1 i 1 i 2 i s i 1 2 ， m =
定理3、设λ是n阶方阵A的一个k重 平特征值,则的属于特征值的特征向量 中,极大线性无关组仓含的向量个数不 王多于个。即齐次线性方程组 (noE-A)x=0 工工工 的基础解系包含的向量个数最多有k个 上页
的基础解系包含的向量个数最多有 个 。 （ ） 多 于 个。即齐次线性方程组 中，极大线性无关组包含的向量个数不 特征值，则 的属于特征值 的特征向量 定 理 、 设 是 阶方阵 的一个 重 k 0 k A 3 n A k 0 0 0 E − A x =
王推论、n阶方阵最多有m个线性无关的特征向量 推论2如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等, 则A与对角阵相似. 注、该推论的逆不成立 推论3、若复数域上的阶方阵A的特征多项式没有 重根,则A可对角化。 上页
推 论1、n阶方阵A最多有n个线性无关的特征向量 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论2 n A A n 注、该推论的逆不成立 重根，则 可对角化。 推 论 、若复数域上的 阶方阵 的特征多项式没有 A 3 n A
633举例 c例1判断下列实矩阵能否化为对角阵? 1-22 -21-2 王①4-|-2-24(21-53-3 24-2 102 解 1- 2 (1)由A0E=-2-2- 2 4 -(4-2)(+7)= 得A1=2=2,43=-7 上页
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 (1) A − − − − = 1 0 2 5 3 3 2 1 2 (2)A 解 (1)由A− E ( 2) ( 7) 2 = − − + = 0 − − − − − − − = 2 4 2 2 2 4 1 2 2 2, 7. 得 1 = 2 = 3 = − 6.3.3、举例
将1=2=2代入(4-41E)=0,得方程组 -x1-2x2+2x3=0 2x1-4x2+4x2=0 2x1+4x2-4x3=0 解之得基础解系 工工 an1=0,a,=1 上页
将 1 = 2 = 2代入(A− 1E) = 0,得方程组 + − = − − + = − − + = 2 4 4 0 2 4 4 0 2 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解之得基础解系 . 1 1 0 , 1 0 2 1 2 = =