6第一章Riemann映照定理证明.由上述定理知调和函数u在B（zo）内是全纯函数的实部，根据全纯函口数的平均值公式就立即得到了u的平均值公式作为平均值公式的推论，我们马上得到调和函数的最大值原理，其证明留作习题.最大值原理：设u：2→R为调和函数，则(i)u在的内部达不到局部最大值，除非u为常数(i）u在的内部达不到局部最大值（或最小值)，除非u为常数其次，从平均值公式我们看到，圆盘上的调和函数在圆心的值由它在边界上的值确定.为了简单起见，我们考虑中心在原点0处的圆盘B, =(ze2|12/<r)设zoEBr，:B,→B.是把0映为zo的分式线性变换，对调和函数u在B,上用平均值公式就得到如下的Poisson积分公式Poisson积分公式：设u,Br如上，则对任意z0EBr，有12 (re'0) - lop?u(20) =de2元J0jreio-zol2Poisson积分公式表明，圆盘上的调和函数是由它在边界上的值惟一决定的.反之，如果圆盘的边界上给定一个连续函数，则通过积分在圆盘内部就可以定义一个调和函数，这就是所谓的Dirichlet边值问题定理1.2.2（圆盘上Dirichlet边值问题解的存在惟一性).设f(rei）是圆周[2|=上的实值连续函数，则在圆盘<r内存在惟一的调和函数u(2)满足lim。u(2) = f(re').→证明.在圆盘内定义17r2-[22f(rete)deu(2)=rei0-2122元J不难验证u是满足要求的在圆盘上连续到边界的调和函数：u的惟一性由最大值原理给出.口结合最大值原理和Dirichlet问题解的存在惟一性，我们就得到调和函数的如下刻画推论1.2.3.设u:α→R为区域上的连续函数，且任给中一点P,均存在P的邻域Vp，使得在V内u都满足平均值公式，则u为2上的调和函数
6 第一章 Riemann 映照定理 证明. 由上述定理知调和函数 u 在 Brpz0q 内是全纯函数的实部, 根据全纯函 数的平均值公式就立即得到了 u 的平均值公式. 作为平均值公式的推论, 我们马上得到调和函数的最大值原理, 其证明留作习 题. 最大值原理: 设 u : Ω Ñ R 为调和函数, 则 (i) |u| 在 Ω 的内部达不到局部最大值, 除非 u 为常数; (ii) u 在 Ω 的内部达不到局部最大值 (或最小值), 除非 u 为常数. 其次, 从平均值公式我们看到, 圆盘上的调和函数在圆心的值由它在边界上的 值确定. 为了简单起见, 我们考虑中心在原点 0 处的圆盘 Br “ tz P Ω ˇ ˇ |z| ă ru, 设 z0 P Br, γ : Br Ñ Br 是把 0 映为 z0 的分式线性变换, 对调和函数 u ˝ γ 在 Br 上用平均值公式就得到如下的 Poisson 积分公式: Poisson 积分公式: 设 u, Br 如上, 则对任意 z0 P Br, 有 upz0q “ 1 2π ż 2π 0 upreiθq r 2 ´ |z0| 2 |reiθ ´ z0| 2 dθ. Poisson 积分公式表明, 圆盘上的调和函数是由它在边界上的值惟一决定的. 反 之, 如果圆盘的边界上给定一个连续函数, 则通过积分在圆盘内部就可以定义一个 调和函数, 这就是所谓的 Dirichlet 边值问题. 定理 1.2.2 (圆盘上 Dirichlet 边值问题解的存在惟一性). 设 fpreiθq 是圆周 |z| “ r 上的实值连续函数, 则在圆盘 |z| ă r 内存在惟一的调和函数 upzq 满足 lim zÑreiθ upzq “ fpreiθq. 证明. 在圆盘内定义 upzq “ 1 2π ż 2π 0 fpreiθq r 2 ´ |z| 2 |reiθ ´ z| 2 dθ, 不难验证 u 是满足要求的在圆盘上连续到边界的调和函数. u 的惟一性由最大值 原理给出. 结合最大值原理和 Dirichlet 问题解的存在惟一性, 我们就得到调和函数的如 下刻画. 推论 1.2.3. 设 u : Ω Ñ R 为区域 Ω 上的连续函数, 且任给 Ω 中一点 p, 均存 在 p 的邻域 Vp, 使得在 Vp 内 u 都满足平均值公式, 则 u 为 Ω 上的调和函数.
781.2调和函数证明.任取pe2，只要证明u在p附近调和即可.为此，取含有p的圆盘B,CVp，在Bp上考虑Dirichlet边值问题(△u(z) = 0, VzBpV(2)=u(2),VzeaBp记此边值问题的解为up，则函数u-up在Bp内满足平均值公式，从而也满足最大值原理，由于在圆盘的边界aBp上u一up为0,因此在Bp内u=up，这就说口明u在B,内调和下面来给出调和函数重要的梯度估计，我们注意到，如果u为2上的调和函数，则其偏导数uz，uy也是调和函数，因此也满足Poisson积分公式，由此就可以通过u来估计u和uu不过，下面我们采用另一个办法来作一阶导数的估计，这个办法的好处是可以推广到黎曼流形上，为此，我们不妨一般一点，在R”上考虑问题R"上调和函数的定义和C上调和函数的定义完全类似，只是R”上的Laplace算子定义为aaa+这里a1,F2.…an为R"上标准直角坐标设u为R"上调和函数，即u满足△u=0.下面我们要估计/Vu，这里Vu=（un1,ua2，，uan）是u的梯度.我们采用的办法是，先用一个函数将[Vu?截断，然后考虑截断以后的函数的极值为此，我们需要一个截断函数，这就是下面的引理，引理1.2.4.存在常数C1，C2以及光滑函数Φ：R→R，使得Φ满足如下条件() = 0, V[| ≥1; 0 <() <1, V re (-1, +1);(0'()?≤C14(r), V TeR:l0"(r)/≤C2,VaeR.证明.先定义如下函数1：R→R，a<lpi(r):0.a≥1不难验证1是R上的光滑函数，且[i(a)]?lim= lim e-(α-1)-4=0i(r)T→1-2-→1-以及[ei(a)?lime(r-1)-4=0limpi(r)
§1.2 调和函数 7 证明. 任取 p P Ω, 只要证明 u 在 p 附近调和即可. 为此, 取含有 p 的圆盘 Bp Ă Vp, 在 Bp 上考虑 Dirichlet 边值问题 # ∆vpzq “ 0, @ z P Bp, vpzq “ upzq, @ z P BBp. 记此边值问题的解为 up, 则函数 u ´ up 在 Bp 内满足平均值公式, 从而也满足 最大值原理. 由于在圆盘的边界 BBp 上 u ´ up 为 0, 因此在 Bp 内 u ” up, 这就说 明 u 在 Bp 内调和. 下面来给出调和函数重要的梯度估计. 我们注意到, 如果 u 为 Ω 上的调和函 数, 则其偏导数 ux, uy 也是调和函数, 因此也满足 Poisson 积分公式, 由此就可以 通过 |u| 来估计 |ux| 和 |uy|. 不过, 下面我们采用另一个办法来作一阶导数的估计, 这个办法的好处是可以推广到黎曼流形上. 为此, 我们不妨一般一点, 在 R n 上考 虑问题. R n 上调和函数的定义和 C 上调和函数的定义完全类似, 只是 R n 上的 Laplace 算子定义为 ∆ “ B Bx 2 1 ` B Bx 2 2 ` ¨ ¨ ¨ ` B Bx 2 n , 这里 x1, x2, ¨ ¨ ¨ , xn 为 R n 上标准直角坐标. 设 u 为 R n 上调和函数, 即 u 满足 ∆u “ 0. 下面我们要估计 |∇u|, 这里 ∇u “ pux1 , ux2 , ¨ ¨ ¨ , uxn q 是 u 的梯度. 我们采用的办法是, 先用一个函数将 |∇u| 2 截断, 然后考虑截断以后的函数的极值. 为此, 我们需要一个截断函数, 这就是下面 的引理. 引理 1.2.4. 存在常数 C1, C2 以及光滑函数 ϕ : R Ñ R, 使得 ϕ 满足如下条 件 $ ’’& ’’% ϕpxq “ 0, @ |x| ě 1; 0 ă ϕpxq ă 1, @ x P p´1, `1q; pϕ 1 pxqq2 ď C1ϕpxq, @ x P R; |ϕ 2 pxq| ď C2, @ x P R. 证明. 先定义如下函数 φ1 : R Ñ R: φ1pxq “ # e 1 x´1 , x ă 1, 0, x ě 1. 不难验证 φ1 是 R 上的光滑函数, 且 lim xÑ1´ rφ 1 1 pxqs2 φ1pxq “ lim xÑ1´ e 1 x´1 px ´ 1q ´4 “ 0, 以及 lim xÑ´8 rφ 1 1 pxqs2 φ1pxq “ lim xÑ´8 e 1 x´1 px ´ 1q ´4 “ 0.